Een deelverzameling wordt uitgedrukt door b_j ⊂ a_i dan en slechts dan wanneer er voor elk element van {b₁, b₂, ..., b_j, ...} een element is van {a₁, a₂, ..., a_i, ...} dat fijner is (formeel uitgedrukt: a_i<b_j> ↔ <> ∀j). “Voor alle” betekent hier eigenlijk: welke b_j ik ook zou kiezen of laten gebeuren op een willekeurige manier, ik vind een a_i waarbij de voorwaarde voldaan zou zijn.

Merk enerzijds op dat ik bij elke b_j steeds de keuzevrijheid heb tussen de punten fijner dan deze b_j. Een verzameling kan ik anderzijds op een willekeurige manier samenstellen (wat operationeel betekent dat ik, wat ik opneem in de verzameling, niet kies maar laat bepalen door het lot, door een willekeurig stochastisch proces). Iets wat ik niet kan kiezen kan enkel maar gebeuren en stellen we voor door <<>>, merk daarbij op dat geldt dat a_i<<<>>> ↔ <>.

De deelverzameling heeft een infimum

Stel nu dat ik wel de keuzevrijheid heb tussen de punten fijner dan deze b_j, dus dat {b₁, b₂, ..., b_j, ...} voor te stellen is als {x_i, b_j<x_i> ↔ <>} waarbij het duidelijk is dat b_j het infimum is van deze verzameling.

We merken nu op dat er dan geldt dat a_i<b_j> ↔ <> op voorwaarde dat de keuzevrijheid a_i beschikbaar is. Deze uitdrukking drukt dus uit dat b_j ⊂ a_i.

Bewijs:

We vragen ons af of uit a_i<b_j> ↔ <> volgt dat a_i<b_k> ↔ <> (want dan is er minstens een a_i die fijner is dan een willekeurig gekozen b_k).

Voor het bewijs moeten we ons enkel concentreren op het niet triviale: namelijk a_i ↔ <<>>.

Wanneer a_i<b_j> ↔ <> geldt en a_i ↔ <<>>, dan geldt ook <b_j> ↔ <>, dus ook b_j ↔ <<>>, dus voor een willekeurige k geldt b_k ↔ <<>>, en dus ook <b_k> ↔ <>, en dus a_i<b_k> ↔ <>. QED.

De keuzevrijheid a_i is zeker beschikbaar wanneer {a₁, a₂, ..., a_i, ...} voor te stellen is als {x_i, x_i<a> ↔ <>}. Dan geldt er dus voor elke i: a_i<a> ↔ <>. a is dus het supremum van de a_i. Onder deze voorwaarden is het nu voldoende dat a fijner is dan b_j om te verzekeren dat b_j ⊂ a_i.

Het is nu duidelijk dat een verzameling (hier b_j) toch te overzien kan zijn dank zij a, supremum van een superverzameling ondanks het feit dat hij een onbeperkt aantal (ongekend aantal, oneindig aantal) elementen kan hebben. Zo definiëren we trouwens operationeel “het overzien van een verzameling”. Te overzien zijn betekent niet dat de verzameling een beperkt aantal elementen zou hebben, of dat alle elementen zouden gekend zijn. Om een verzameling te overzien is het voldoende om over een supremum specificatie van een superverzameling te beschikken. Dit werpt een nieuw licht op "oneindigheid".

De deelverzameling heeft een supremum

Veronderstel dat {b₁, b₂, ..., b_j, ...} voor te stellen is als {x_i, x_i<b> ↔ <>} waarbij het duidelijk is dat b het supremum is van deze verzameling. In het ervaren van b ervaren we elke b_k.

Veronderstel dat a nu het supremum is van een superverzameling. Wanneer nu geldt dat a<b> ↔ <> dan is dat niet voldoende om te besluiten dat b_j ⊂ a_i. Zoals gezien is het echter voldoende dat a fijner is dan b_j (en dus per definitie fijner is dan het supremum b) om te verzekeren dat b_j ⊂ a_i. Er is echter één geval waarbij uit a<b> ↔ <> volgt dat b_j ⊂ a_i, dat is wanneer beide verzamelingen slechts één element hebben en b_j ⊂ a_i geschreven kan worden als b ⊂ a.

Dit maakt duidelijk dat de transitiviteit die bestaat op niveau van de individuele punten niet zo maar door te trekken is naar het niveau van modellen en contexten (en dus deelverzamelingen van punten).

Noteer dat elk punt a zowel ∀ (voor alle, elk) als ∃ (er is een) kan uitdrukken: ∀ ten opzichte van de fijnere punten (als ik a ervaar ervaar ik alle punten fijner dan a); ∃ ten opzichte van de ruimere punten (als ik a ervaar is er minstens één punt ruimer dan a dat ik ervaar). Een punt is een niveau waarop ik fijnere punten kan ervaren, ruimere kan overzien, kan ontdekken en/of creëren. Ga ik punten verzamelen dan moet ik me afvragen of deze verzameling een welbepaald infimum of een welbepaald supremum heeft, dit is immers niet zomaar gegeven. Een willekeurig verzamelen is hiervan een typisch voorbeeld.

Uiteraard is deze laatste paragraaf ook duaal te lezen in het laten gebeuren van een punt.

Gevolg

Terwijl het begrip “verzameling” (of “element van”) geen bijkomend axioma vereist om gemodelleerd te kunnen worden in het haakformalisme, stelt het begrip “deelverzameling” wel bijkomende eisen om gemodelleerd te kunnen worden.

Slechts wanneer het supremum van verzameling A fijner is dan het infimum van verzameling B dan kunnen we zeggen dat verzameling B een deelverzameling is van A.