Terwijl het begrip “verzameling” en “element” geen bijkomende veronderstellingen vereisen in het haakformalisme, en we enkel hebben moeten wijzen op het duale van de definitie van verzameling, hebben we wel bijkomende axioma's nodig voor het begrip “deelverzameling”.

Neem twee willekeurige verzamelingen {a₁, a₂, ..., a_i, ...} en {b₁, b₂, ..., b_j, ...}. We kiezen nu om ze als een vrije keuze te beschouwen, dus hun voorstelling in welgevormde haakuitdrukking is respectievelijk a_i en b_j.

We zullen nu een relatie definiëren tussen beide verzamelingen: (a_i, b_j) en deze noteren als b_j ⊂ a_i dan en slechts dan wanneer er voor een willekeurig element van {b₁, b₂, ..., b_j, ...} een element is van {a₁, a₂, ..., a_i, ...} dat fijner is (a_i<b_j> ↔ <> voor een willekeurige b_j).

Stel dus dat we een willekeurig element van {b₁, b₂, ..., b_j, ...} ervaren (b_k ↔ <>) dan ervaren we ook een element van {a₁, a₂, ..., a_i, ...} (a_l<<>> ↔ <>). Omgekeerd is dat niet zo. Stel dat we een willekeurig element van {a₁, a₂, ..., a_i, ...} ervaren (a_l ↔ <>), dan is het met a_l<b_k> ↔ <> duidelijk dat er elementen van {b₁, b₂, ..., b_j, ...} mogelijk zijn die de ervaringswaarde <> hebben maar ook elementen met een onbekende ervaringswaarde en elementen die de ervaringswaarde <<>> hebben.

Merk de dubbelzinnigheid op van de uitdrukking in natuurlijke taal: wanneer minstens een (∃x) element van {b₁, b₂, ..., b_j, ...} ervaren is, dan ... maar dat moet gelden voor elk element (∀x). Operationeel is dus “maar dat moet gelden voor elk element “ geen keuze meer voor een element maar iets dat alleen maar kan gebeuren. b_j ↔ <> maar tevens <b_j> ↔ <<>>, en dat is hetzelfde, niet te onderscheiden van elkaar. Dat legt dus het symbolenrepertorium, dus de verzameling, vast.

Voorbeelden

{a, b} ⊂ {a, b, c, ...} want voor elk element van de eerste verzameling is er een element van de tweede verzameling dat fijner is. Neem a, dan geldt a<a> ↔ <>, neem b, dan geldt b<b> ↔ <>. Merk nu op dat er ook twee elementen zijn van de tweede verzameling die fijner zijn dan elementen van de eerste verzameling, en dat het mogelijk is dat ook een derde element fijner is dan een element van de eerste verzameling hoewel dat niet hoeft.

{a, b} ⊂ {ab, bc} want voor elk element van de eerste verzameling is er een element van de tweede verzameling dat fijner is. Neem a, dan geldt ab<a> ↔ <>, neem b, dan geldt ab<b> ↔ <> of bc<b> ↔ <>.

{a, b, d, e} ⊂ {a, b, c, ...} onder de veronderstelling dat a<d> ↔ <>, a<e> ↔ <>, want voor elk element van de eerste verzameling is er dan een element van de tweede verzameling dat fijner is. Neem a, dan geldt a<a> ↔ <>, neem b, dan geldt b<b> ↔ <>, neem d, dan geldt a<d> ↔ <>, neem e, dan geldt a<e> ↔ <>. We kunnen dit als volgt uitdrukken: de specificaties van de rechter verzameling zijn fijner dan de specificaties van de linker verzameling. Het aantal verschillende symbolen in een deelverzameling B van verzameling A moet zeker niet kleiner of gelijk zijn dan het aantal verschillende symbolen in de verzameling A.

Om te kunnen spreken van deelverzamelingen moeten we daarom twee nieuwe begrippen introduceren: de specificatie van een verzameling, en de mogelijkheid een verzameling te overzien. Want om van een deelverzameling te kunnen spreken moet er een specificatie van de superverzameling fijner zijn dan al de specificaties van de deelverzameling en moet de deelverzameling te overzien zijn.

De keuze van het woord “specificatie” komt uit het domein van het ontwerpproces. Het duale wordt in het ontwerpproces aangegeven als twee soorten specificaties: een model versus een context. Een model legt een repertorium aan symbolen vast, in een context kunnen dingen gebeuren die nog geen symbool gekregen hebben en slechts door de actie een spoor achterlaten dat als symbool kan gebruikt worden.