Met enkel een rij metingen n0; n1; n2; n3; n4; n5; n6… van opeenvolgende toestanden T0; T1; T2; T3; T4; T5; T6… kunnen we verhoudingen vi(i+1) berekenen die als een veralgemening van (abstractie van) “snelheid” kunnen begrepen worden en met die verhoudingen kunnen we ook een veralgemening van (abstractie van) “versnelling” definiëren. Het modelleren van evenwicht, namelijk de situatie waarbij opeenvolgende metingen niet kunnen onderscheiden worden van elkaar, heeft geleid tot een nieuw begrip: een Lorentz nulpunt en dit is een speciaal geval van een Lorentz invariant die kan staan voor gelijk welke structuur m die enkel de eenheid van een verhouding beïnvloedt, niet de intensiteit. Hiermee kunnen we dan de abstracte snelheid en abstracte versnelling verder kwantificeren. We hebben dan gezien dat de versnelling een som is van twee componenten, een afhankelijk van de Lorentz invariant m en een niet afhankelijk van m. De component die niet afhankelijk is van m is gelijk aan nul onder de voorwaarde ni-1ni+1=ni2 die we eenvoudiger noteren als n0n2=n12 en dit kunnen we modelleren met het introduceren van de constante verhouding k die we de eigenwaarde van een proces genoemd hebben. We veronderstellen dat er dan, voor drie opeenvolgende metingen n0; n1; n2, geldt dat n0=n1k en n2=n1/k. Dus n0/n1=k en n1/n2=k. De meest abstracte notering is dan, voor drie opeenvolgende metingen ni-1; ni; ni+1, dat er geldt dat ni-1=nik en ni+1=ni/k. Dus ni-1/ni=k en ni/ni+1=k.
Dan is de versnelling nul voor de component die niet afhankelijk is van m, er is geen kracht (aantrekking of afstoting hebben we geconstrueerd vanuit een versnelling) die door die component gegenereerd wordt en zoals we gezien hebben komt dit overeen met een evolutie met een vaste eigenwaarde. We noemen dat een spontane evolutie. Een spontane evolutie “oefent geen kracht uit”, misschien ook: “levert noch kost energie” ondanks het gegeven dat er een schaalfactor is die als constante snelheid (of constante verandering) kan geïnterpreteerd worden. Inderdaad opeenvolgende schaalfactoren (symbolen vi(i+1)) zijn gelijk, bijvoorbeeld v01=(n0-n1)/(n0+n1)=(n1k-n1)/(n1k+n1)=(k-1)/(k+1) en v12=(n1-n2)/(n1+n2)=(n1-n1/k)/(n1+n1/k)=(k-1)/(k+1) maar dit geldt niet voor een schaalfactor die niet de opeenvolgende is, bijvoorbeeld: v02=(n0-n2)/(n0+n2)=(n1k-n1/k)/(n1k+n1/k)=(k2-1)/(k2+1). Spontane evolutie kunnen we interpreteren als positieve feedback of negatieve feedback, afhankelijk van de waarde van k.
We zullen nu onderzoeken wat de veronderstelling van een <<evolutie met een vaste eigenwaarde>> betekent voor de versnellingsterm waarin de Lorentz invariant wel een rol speelt.
In de veronderstelling dat n0=n1k en n2=n1/k zijn de schaalfactoren inclusief de vaste referentie (de Lorentz invariant) enkel als functie van de intensiteit van één toestand voor te stellen, we kiezen hiervoor n1. Daarmee modelleren we een stap na stap veranderende referentie ni. Inderdaad: in de opeenvolgende intensiteiten n0, n1, n2, n3, … bevindt n1 zich met schaalfactor k tussen n0 en n2, bevindt n2 zich met schaalfactor k tussen n1 en n3, enz...
Er geldt dus: v01+m=(n1k-n1)/(2m+n1k+n1); v12+m=(n1-n1/k)/(2m+n1+n1/k); v02+m=(n1k-n1/k)/(2m+n1k+n1/k).
Dit is veel meer leesbaar dan de vorm v(i-1)i+m=(nik-ni)/(2m+nik+ni); vi(i+1)+m=(ni-ni/k)/(2m+ni+ni/k); v(i-1)(i+1)+m=(nik-ni/k)/(2m+nik+ni/k).
De component van de totale versnelling die afhankelijk is van m is de enige die nog overblijft van de verhouding, en dit is in het algemeen geval gelijk aan 2m(n0-2n1+n2)/(2m+n0+n1)2(2m+n1+n2)2. Aangezien we veronderstellen dat n0=n1k en n2=n1/k, kunnen we ook deze verhouding dan uitdrukken enkel als functie van n1 en dit geeft:
2m(n1k-2n1+n1/k)/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2
2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1+n1k)2(2m+n1+n1/k)2
Dit kunnen we ook zonder verwarring noteren als
2mn1(√k-1/√k)2/(2m+ni+nik)2(2m+ni+ni/k)2
De interpretatie van m is niet anders dan de intensiteit van een toestand die geen rol speelt in de dynamiek onder focus. Daardoor kan die m de dynamiek karakteriseren als de variatie die mogelijk is met die gemeenschappelijke m die niet varieert. We kunnen immers ook veronderstellen dat m een van de intensiteiten ni is omdat de ni intensiteiten van een toestand zijn en die m is dan een intensiteit die een gemeenschappelijk term is (in een sommatie) voor alle ni. We onderzoeken nu twee keuzes: 2m+n1=0 en m+n1=0, met m verschillend van nul.
Als we kiezen voor 2m+n1=0 dan heeft deze versnelling maar één variabele meer, namelijk n1 (of -1/2m).
-n12(√k-1/√k)2/n12k2n12/k2
-(√k-1/√k)2/n12
Het resultaat is dus een negatief kwadraat, iets waarvoor we conventioneel √-1 nodig hebben. Een negatief kwadraat bekomen we ook als we de vergelijking in functie van m kiezen:
-4m2(√k-1/√k)2/(-2mk)2(-2m/k)2
-4m2(√k-1/√k)2/4m2k24m2/k2
-(√k-1/√k)2/4m2
We kunnen dat ook schrijven als
-(k-1)2/4m2k
-(1-k)2/4m2k
Deze versnelling is dus constant voor een constante m (en een constante k).
Deze versnelling is gelijk aan nul, onafhankelijk van m, voor k=1.
De abstracte versnelling tussen de opeenvolgende toestanden T0 en T2 (met T1 er tussen), of dus T(i-1) en T(i+1) (met Ti er tussen), is omgekeerd evenredig met het kwadraat van “een intensiteit” 2m die zowel een abstracte ruimteafstand of abstracte tijdafstand kan zijn ten opzichte van een nulpunt (we hebben immers verondersteld dat m gelijk kan zijn aan nul). Inderdaad een simultaneïteitsafstand is een gericht interval dat twee duidelijk onderscheiden karakteristieken kan hebben: met referentiepunt 0 vormen we zowel de niet commutatieve “ruimteafstand” (0-2m) versus (2m-0) als de commutatieve “tijdafstand” (0+2m) en het kwadraat van deze intensiteit is altijd positief. We hebben de vrije keuze: -2m of +2m. Deze “of” is duidelijk een disjunctie en niet een exclusieve disjunctie, wat we herkennen in de interpretatie van een kwadraat van +1 of -1, de vierkantswortel van m2 is positief of negatief, er moet hiervoor geen beslissing genomen worden. De parameter m of n1 is een simultaneïteitsafstand, dit is een eendimensionale afstand ten opzichte van een nul (verschil als we dat interpreteren als ruimteafstand, som als we dat interpreteren als tijdafstand, de afstanden zijn eendimensionaal gemeten in een tralie). Nul moeten we operationeel interpreteren als waarneembaar willekeurig klein en daarenboven onwaarneembaar nog kleiner, wat betekent dat ordening niet meer mogelijk is.
We hebben maar één stap bestudeerd, namelijk van n0 over n1 naar n2 (of van ni-1 over ni naar ni+1). Die stap wordt volledig bepaald door k en toch kunnen we de intensiteit van de versnelling veranderen door de eenheid van de versnelling (de noemer) te veranderen. Dat is een keuze van m, verschillend van nul, een intensiteit ten opzichte van een willekeurig gekozen nulpunt als begrenzing van de waarnemingsresolutie die we gebruiken als enkel relevant voor de eenheid van de meting van een snelheid. De versnelling is nul voor k=1, onafhankelijk van m en dan volgt uit de veronderstellingen dat alle ni dezelfde waarde hebben en alle schaalfactoren vij dan nul zijn.
We krijgen een dieper inzicht door voor de keuze 2m+n1=0 ook een energie te berekenen.
De simultaneïteitsafstand s02+m die berekenbaar is tussen de toename of afname van twee snelheden v01 en v12 halen we uit de abstracte gemiddelde snelheid ½(v01+m+v12+m)= ½(n0-n1)/(2m+n0+n1)+ ½(n1-n2)/(2m+n1+n2)= ½((2m+n1+n2)(n0-n1)+(2m+n0+n1)(n1-n2))/(2m+n0+n1)(2m+n1+n2) waarbij de teller de abstracte afstand geeft. Deze is ½(2m+n1+n2)(n0-n1)+ ½(2m+n0+n1)(n1-n2))=½(n0-n2)(2m+2n1)=(n0-n2)(m+n1). Met n0=n1k en n2=n1/k wordt de afstand (n1k-n1/k)(m+n1).
De veranderingsenergie is dan het product van die afstand (n1k-n1/k)(m+n1) en de versnelling 2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2.
We berekenen nu beide afzonderlijk:
Als we kiezen voor 2m+n1=0 en dus 2m=-n1 wordt de afstand (n1k-n1/k)(m+n1)=-½n12(k-1/k).
Als we kiezen voor 2m+n1=0 en dus 2m=-n1 wordt de versnelling -2n12(√k-1/√k)2/(n1k)2(n1/k)2 en dit is -2(√k-1/√k)2/n12.
Het product van beide is de veranderingsenergie in het specifiek geval m=-½n1 en is dus (k-1/k)(√k-1/√k)2 en dat is dus een constante voor constante k. We schrijven dit als (k-1/k)(k-2+1/k) of (k2-2k+1-1+2/k-1/k2) of (1-k)2-(1-1/k)2. Dit is een verschil van twee kwadraten.
We kunnen dit verschil van kwadraten ook in functie van verhoudingen v uitdrukken:
vi(i+1)+m=(ni-(ni+kni))/(m+ni+(m+ni+kni))=-(kni))/(2m+2ni+kni)).
In het geval 2m=-ni geldt dan: vi(i+1)+m=-(kni))/(ni+kni))=-k/(1+k).
Uit vi(i+1)+m=-k/(1+k) volgt k=-vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m) en 1/k=-(1+vi(i+1)+m)/vi(i+1)+m.
Hieruit volgt dat (1-k)2-(1-1/k)2=(1+vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m))2-(1+(1+vi(i+1)+m)/vi(i+1)+m)2 en dit is de uitdrukking in functie van verhoudingen v.
We kunnen de veranderingsenergie nog op andere manieren uitdrukken.
(1-k)2-(1-1/k)2=((1+2vi(i+1)+m )/(1+vi(i+1)+m))2-((1+2vi(i+1)+m )/vi(i+1)+m)2
Noem nu va=(1+2vi(i+1)+m )/ vi(i+1)+m en noem nu vb=(1+2vi(i+1)+m )/(1+vi(i+1)+m) en er geldt dan vb/va=vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m)=-k
Dan geldt (1-k)2-(1-1/k)2=(1+vb/va)2-(1+va/vb)2=((va+vb)/va)2-((va+vb)/vb)2.
Dus de energie is constant en is een verschil van twee kwadraten die beide een andere afhankelijkheid hebben van een constante k. Die kwadraten zijn niet anders dan de kwadraten van twee abstracte opeenvolgende verhoudingen (“snelheden”) vi(i+1)+m.
Maar hetzelfde geldt voor twee abstracte opeenvolgende verhoudingen (“snelheden”) vi(i+1), en dat is het geval dat m=0.
We hebben immers bewezen dat de relatie tussen snelheid en eigenwaarde gegeven wordt door vi(i+1)=-k/(2+k) en dus ook k=-2vi(i+1)/(1+vi(i+1)). Hieruit volgt dat er geldt dat (1-k)2-(1-1/k)2=(1+2vi(i+1)/(1+vi(i+1)))2-(1+(1+vi(i+1))/2vi(i+1))2=((1+3vi(i+1))/(1+vi(i+1)))2-((1+3vi(i+1))/2vi(i+1))2 en dat is dus een verschil van twee kwadraten van de verhoudingen (“snelheden”) vc=(1+3vi(i+1))/2vi(i+1) en vd=(1+3vi(i+1))/(1+vi(i+1)). De verhouding van beide is vd/vc=2vi(i+1)/(1+vi(i+1))=-k. Dit is niet anders dan vb/va=vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m).
Het verschil van twee kwadraten kunnen we dan ook op twee manieren schrijven:
enerzijds als (1-k)2-(1-1/k)2=(1+vb/va)2-(1+va/vb)2=((va+vb)/va)2-((va+vb)/vb)2.
anderzijds als (1-k)2-(1-1/k)2=(1+vd/vc)2-(1+vc/vd)2=((vc+vd)/vc)2-((vc+vd)/vb)2.
Energie hebben we berekend vanuit het vermogen en om het vermogen te berekenen moeten we een term vermenigvuldigen in de noemer, namelijk in het algemeen geval: (2m+n0+n1)(2m+n1+n2) en dit wordt in dit specifiek geval (2m+n1k+n1)(2m+n1+n1/k) en met 2m=-n1 is dit (-n1+n1k+n1)(-n1+n1+n1/k) of n12=4m2
Het vermogen is dan (1/4m2)(1-k)2-(1/4m2)(1-1/k)2.
We berekenen ook de overeenkomende tijdrek γi(i+1)+mγ(i+1)i+m.
vi(i+1)+m=(ni-(ni+kni))/(m+ni+(m+ni+kni))=-(kni))/(2m+2ni+kni)).
In het geval 2m=-n1 geldt dan: vi(i+1)+m=-(kni))/(ni+kni))=-k/(1+k).
Hieruit volgt: vi(i+1)+m2=k2/(1+k)2 en 1-vi(i+1)+m2=1-k2/(1+k)2=(1+2k)/(1+k)2
γi(i+1)+mγ(i+1)i+m=(1+k)2/(1+2k)
Met vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m)=-k is
γi(i+1)+mγ(i+1)i+m=(1-vi(i+1)+m/(1+vi(i+1)+m))2/(1-2vi(i+1)+m /(1+vi(i+1)+m))=1/(1-vi(i+1)+m2)
We kunnen nog een tweede keuze maken. Die heeft een andere invloed op de noemer van de versnelling 2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2. Ook als we kiezen voor m+n1=0 dan heeft deze versnelling maar één variabele meer, namelijk n1 (of -m).
Dat is een keuze die we al in het algemeen geval onderzocht hebben. In het algemeen geval konden we een evenwichtssituatie modelleren als een keuze voor n1=n2=n. In het geval van een spontane evolutie is dat dan een keuze n2=n1/k=n1 en dit betekent dat de keuze is: k=1 en dan is de afstand (n1k-n1/k)(m+n1) gelijk aan nul.
We merken op dat de simultaneïteitsafstand (n0-n2)(m+n1) die berekenbaar is tussen de toename of afname van twee snelheden nul wordt voor m=-n1. Dan is er wel een versnelling maar geen energie (de energie is zeer klein geworden en onwaarneembaar kleiner). Die versnelling kunnen we berekenen door voor m=-n1 te kiezen in de versnellingsterm die afhankelijk is van m, namelijk 2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2.
-2n12(√k-1/√k)2/(n1k-n1)2((n1/k)-n1)2
-2n12(√k-1/√k)2/n14(k-1)2((1/k)-1)2
-2(√k-1/√k)2/n12(k-1)2((1/k)-1)2
-2((k-1)/√k)2/n12(k-1)2((1-k)/k)2
-2k/n12(1-k)2
en met m=-n1 geldt ook
-2k/m2(1-k)2
-2k/m2(k-1)2
Deze versnelling is dus constant voor een constante m verschillend van nul (en constante k).
We berekenen ook de overeenkomende tijdrek γi(i+1)+mγ(i+1)i+m.
vi(i+1)+m=(ni-(ni+kni))/(m+ni+(m+ni+kni))=-(kni)/(2m+2ni+kni)).
In het geval m=-ni geldt dan: vi(i+1)+m=-(kni)/(kni))=-1.
Hieruit volgt: vi(i+1)+m2=1 en 1-vi(i+1)+m2=0
γi(i+1)+mγ(i+1)i+m=∞
Constante versnelling -(1-k)2/4m2k met een constante veranderingsenergie (1-k)2-(1-1/k)2 en een vermogen (1/4m2)((1-k)2-(1-1/k)2) voor een m=-½ni.
Constante versnelling -2k/m2(1-k)2 met een veranderingsenergie en vermogen gelijk aan nul voor een m=-ni.
Beide constante versnellingen zijn niet in elkaar te transformeren enkel door m een andere waarde te geven. Deze m is de intensiteit van de toestand die de dynamiek kan karakteriseren omdat deze toestand invariant is voor die spontane dynamiek (die intensiteit van een toestand is gemeenschappelijk voor alle toestanden) en enkel de eenheid van de verandering bepaalt. Die m is een Lorentz invariant. In het geval dat de veranderingsenergie gelijk is aan nul is m het dubbele van het eerste geval. De betekenis hiervan is dat in dit geval de m in een universum beschreven wordt met één onderscheiding meer dan in het eerste geval (die dus een dubbel aantal potentiële toestanden kent). De factor 2 voor m en de relatie met snelheid zien we terugkomen in het verschil tussen potentiële en kinetische energie.
Spontane evolutie kunnen we modelleren met het introduceren van de constante verhouding k als eigenwaarde van een proces. In de rij metingen n0; n1; n2; n3; n4; n5; n6… van opeenvolgende toestanden T0; T1; T2; T3; T4; T5; T6… veronderstellen we dus ni=ni+1k en ni+2=ni+1/k. Dit modelleert dan een spontane evolutie met versnelling gelijk aan nul (en dus een constante snelheid) in het geval we m=0 kiezen. Als we m een andere constante waarde geven (en elke ni is dan een som met dezelfde m, zodanig dat m verdwijnt bij een verschil) dan kunnen we een proces modelleren waarbij de snelheid voortdurend verandert door een (eventueel constante) versnelling en de versnelling (de kracht) voor elke m omgekeerd evenredig is met m2. We kennen hiervoor twee voorbeelden waarbij de getallen een multiplicatieve relatie hebben:
Als we kiezen voor m2=M, dan kunnen we M interpreteren als een totale massa en zo berekenen we de gravitatie kracht: Fg=-Gm1m2/r2 met G de gravitatieconstante (versnelling). Hiervoor geldt dan dat m2=m1m2. Het getal m is dan het meetkundig gemiddelde van m1 en m2. Het begrip “meetkundig” heeft niet te maken met geometrische axioma’s maar met de manier waarop een getal opgebouwd is: een rekenkundige rij is opgebouwd met sommen en genereert een rekenkundig gemiddelde, een meetkundige rij is opgebouwd met producten en genereert een meetkundig gemiddelde, een harmonische rij is opgebouwd met inverse sommen en genereert een harmonisch gemiddelde (zie ook de dualiteit in het getallendomein).
Als we kiezen voor m2=Q, dan kunnen we Q interpreteren als de totale elektrische lading en zo berekenen we de elektrische kracht: Fe=-iq1iq2/4πε0r2 met ε0 de elektrische veldconstante (en met i=√-1, het imaginair getal). Hiervoor geldt dan dat m2=i2q1q2. We hebben de factor √-1 voor de lading verantwoord door het verschil te begrijpen tussen aantrekking en afstoting.
Dit zijn concrete voorbeelden van de abstractie <<het patroon van spontane verandering>>. De “vrije val” en de elektrische aantrekking/afstoting wordt als een spontaan proces met een constante versnelling beschouwd in de ruimtetijd. Ruimtetijd moeten we hierbij niet a priori aannemen maar kunnen we op een nieuwe manier construeren vanuit de verhoudingen vij, verhoudingen die een proces karakteriseren en op hun beurt berekend worden vanuit de opeenvolgende metingen ni en nj. Gravitatie als kromming van de ruimtetijd is een onnodig gecompliceerde verklaring, een gevolg van de vaststelling dat de a priori van het concept “ruimtetijd” niet begrepen werden. Kromming is wel herkenbaar in de afbeelding op een boloppervlak van de tralie van het onderscheidingen universum waarin gravitatie kan beschreven worden waardoor simultaneïteitsafstanden tussen twee punten altijd en onvermijdelijk gekromd zijn.