Dynamiek in één dimensie hebben we gemodelleerd als de niet commutatieve voorstelling ((y⊕x)⊗(<y>⊕<x>))ℵ=ℵ•(x⊕y). Dit creatief product is enkel opgebouwd met de ene unieke veronderstelling dat twee toestanden die elkaar uitsluiten tegengestelde waarde kunnen hebben. Dit is daardoor een lokaal fenomeen (tussen twee toestanden), geen globaal (tussen meerdere toestanden). De voorstelling codeert de richting en de zin waarin een interval doorlopen wordt zodat evenwicht en invariantie kan gecodeerd worden wanneer de andere zin op die richting dan gecodeerd wordt door ((<y>⊕<x>)⊗(y⊕x))ℵ=<ℵ>•(x⊕y). Hierbij kunnen we zowel x als y interpreteren als een referentie. Wanneer we voor x en y getallen gebruiken dan moeten we zeer aandachtig zijn omdat we getallen manipuleren en eenheid en intensiteit in het getallendomein duidelijk moeten onderscheiden worden.
Een tralie in het haakformalisme is een structuur van eenheden. Met getallen kunnen we ook een tralie vormen en dan moeten die getallen als eenheden beschouwd worden. Enkel met priemgetallen als toestanden zijn dat de tralies van het haakformalisme. Elk priemgetal kan altijd als een dubbelgetal geschreven worden van het type (x⊕y) en dat brengt met zich mee dat een uitdrukking als ℵ•(x⊕y) (die een dynamiek modelleert met ℵ die niet in de tralie ingebouwd wordt) een specifiek creatief product is met het getal <gn>: (<gn>⊗gn)ℵ=ℵ•<gn>.
In een onderscheidingen universum noemen we een aspect dat enkel toeneemt of enkel afneemt “de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ”. De laatst toegevoegde onderscheiding kunnen we bijvoegen of kunnen we weglaten. De onvermijdelijk laatst toegevoegde onderscheiding is er een die niet ingebouwd wordt. Dit doet zich voor als een minimale intensiteit “tussen” een gekozen structuur met n toestanden (dus log2(n+0) onderscheidingen) en een met minimaal 2n toestanden (dus minimaal log2(n+1) onderscheidingen), de structuur die blijkt te gebeuren. We modelleren de laatst toegevoegde onderscheiding als een 1-splitsing, als het koppel (h1, h2) dat een symbolisering is van het creatief product (h1⊗h2)ℵ waarbij zowel h1 als h2 gecollapste haakuitdrukkingen zijn die de eenheden zijn die een intensiteit krijgen. Er zal altijd een aspect zijn dat kan toenemen en dat kan afnemen, er zal altijd een aspect zijn dat alleen maar kan toenemen vanaf een bepaalde keuze, beide processen zijn niet van elkaar te scheiden omdat beide processen nodig zijn om een ordening te kunnen definiëren.
De afgeleide naar ℵ is het product van de termen van (<gn>⊗gn)ℵ of van de termen van (gn⊗<gn>)ℵ en is dus niet anders dan de eenheid 1. Een afgeleide gelijk aan 1 is niet anders dan de afgeleide van een willekeurige variabele naar de variabele zelf. Product en deling van dubbelgetallen zijn in elkaar te transformeren. Als we dan beseffen dat de deling niet commutatief is, en aangezien we dynamiek modelleren zal (x⊕y) verschillend zijn van de nulvector en (x⊕y) kan dus de rol van eenheid als de noemer van een deling opnemen.
Een telling (die getallen genereert als sporen van een meting) genereert altijd positieve gehele getallen. Die getallen gebruiken we om een ander getal te berekenen. Berekeningen zijn dus operaties met die positieve gehele getallen. Gehele getallen zijn goed gemodelleerd in het haakformalisme. Immers: het aantal AND-atomen kunnen we tellen omdat ze elkaar uitsluiten. Het aantal onderscheidingen k kunnen we tellen want ze genereren 2k=n atomen (we onderscheiden zowel AND- als OR-atomen), het aantal niveauverschillen m (of een selectie van een aantal atomen) kunnen we tellen want het is niet anders dan het aantal atomen. Meer dan n en m hebben we niet nodig om de metriek in een tralie eenduidig vast te leggen. Hebben n en m dezelfde waarde (opwel positief, ofwel negatief) dan is n-m kleiner dan n+m, het eerste getal geeft een metrische afstand tussen niveaus in een tralie met n toestanden, het tweede de duale afstand in een tralie met één onderscheiding meer, onderscheiding die niet wordt ingebouwd in de tralie, de tralie die de eenheid is die geteld wordt. Immers: als n=m dan is het verschil (n-m) gelijk aan nul en de som (n+m) is een verdubbeling (zoals het aantal atomen verdubbeld wordt in een tralie met één onderscheiding meer dan de tralie met n atomen). Hebben n en m tegengestelde waarde dan geldt de duale interpretatie van afstand in een tralie.
We zullen nu een nieuwe notatie ontwikkelen voor een metrisch interval tussen getallen, dus voor een interval meting (enkel verschillen en sommen) en dus ook voor het aangeven van de zin van het interval.
Wanneer we vertrekken van één rij positieve gehele getallen: n0, n1, n2, … die sporen zijn (tellingen van de intensiteit) van toestanden T0, T1, …, dan kunnen we opeenvolgende getallen beschouwen als de sporen van de lokale stappen in een proces. We kunnen dus opeenvolgende getallen van elkaar aftrekken tot een nieuw getal. Dat getal noemen we dan xij (dit is eigenlijk niet anders dan het ingewikkelder en daardoor verwarrender symbool xi(i+1)). Diezelfde opeenvolgende getallen kunnen we ook bij elkaar optellen tot een nieuw getal. Dat getal noemen we dan tij (dit is eigenlijk niet anders dan het ingewikkelder en daardoor verwarrender symbool ti(i+1)). Som en verschil van de getallen zijn goed gedefinieerd aangezien de toestanden elkaar uitsluiten. De getallen kunnen we dan beschouwen als cumulaties.
De zin van het interval is als volgt duidelijk: de notering x01=-x10 is het (enerzijds positieve, anderzijds negatieve) getal dat we zullen verbinden met het interval n0-n1. De notering x10=-x01 is het (enerzijds positieve, anderzijds negatieve) getal dat we zullen verbinden met het interval n1-n0. De notering t01=t10 is het getal dat we verbinden met het interval n0+n1. De notering t10=t01 is het getal dat we verbinden met het interval n1+n0. Dus enkel voor de x-intervallen is de zin van de richting aanpasbaar, voor de t-intervallen is de zin niet te veranderen, zo we willen “omdat het door één keuze reeds gedefinieerd werd en die unieke keuze zich niet meer kan voordoen”.
Dit genereert rijen van sommen en verschillen van getallen die sporen zijn van waarnemingen. Als getallen verwijzen ze naar de op één moment waargenomen grootte van onbekende onderscheidingen universa die elkaar uitsluiten, waarbij alle onderscheidingen dezelfde ervaringswaarde hebben, waarbij de conjunctie van beide meetprocessen niet onmogelijk is en dus waarbij de disjunctie (of keuzevrijheid) van de meetprocessen gerealiseerd wordt. We bekomen dus getallen die staan voor de grootte van verschillen die een verschil maken in een waarnemingscontext: tellingen of waarderingen van de intensiteit van één parameter die aangeven hoe groot het verschil is met de gekozen referentie. De referentie zorgt voor een waarnemingscontext die “hier en nu” als invariant of stabiel kan beschouwd worden (het is de gekozen meetmethode) zodat enkel het verschil of som als intensiteit gemeten wordt, en er enkel intensiteiten gemeten worden en dus sporen achterlaten. Dit uit zich niet alleen in intensiteit maar ook in de "dimensie" die aan de variabele toegekend is (de kwalitatieve entiteit “seconde”, “meter”, “lading”, “zuurtegraad”, ...) die typisch is voor de gekozen waarnemingscontext, en waarmee eigenlijk naar die context verwezen wordt. De "dimensie" is een stabiel aspect van de context omdat die kan verwacht en gekozen worden door de meetmethode te kiezen. De "beschikbaarheid van de variabele" als entiteit E is stabiel en is een entiteit die een andere entiteit karakteriseert, namelijk de entiteit e die als een van zijn karakteristieken dimensie E heeft. Deze dimensie, zowel bij de variabele t als bij de variabele x, is dus een abstracte constructie die stabiel verondersteld wordt. De labels voor de parameter t komen maar éénmaal voor, de labels voor de parameter x komen eveneens maar éénmaal voor, maar door de waarnemingscontext kan het zijn dat we voor x steeds hetzelfde getal moeten gebruiken (afhankelijk van de precisie van de meting bijvoorbeeld) zodanig dat we hier ook alle statistische parameters kunnen bij betrekken (waarbij de frequentie bijvoorbeeld de intensiteit van onzekerheid kwantificeert over wat dan wel stabiel is). Dit zijn dus getallen waarmee rekenkundige bewerkingen mogelijk zijn en die de gekozen parameter lokaal kwantificeren zoals in de gekozen of ingerichte waarnemingscontext blijkt te gebeuren, wat we kunnen modelleren door de waarde van de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ ofwel <ℵ>. Kiezen we ℵ dan gebeurt <ℵ>. We moeten de laatste onderscheiding onderscheiden als ℵ ofwel <ℵ> omdat de meetprocessen verschillend zijn (we voeren niet één proces uit). De conjunctie van onderscheidingen met de laatst toegevoegde onderscheiding modelleert het begrip intensiteit van een “dimensie” omdat “dimensie” simultaan optreedt bij elk waargenomen spoor. Dit maakt ook duidelijk dat de dimensies die onderscheiden worden slechts met elkaar in één tralie geïntegreerd zijn op het niveau van de entiteit e. Deze integratie is er slechts op één moment, één toestand, dus voor één laatst toegevoegde onderscheiding. Enkel in die toestand zijn de intensiteiten van de dimensies “voor de entiteit e” compatibel met elkaar, ze sluiten elkaar niet wederzijds uit, iets dat moet blijken uit de empirisch opstelling (de operationalisering) van de waarneming. Dus (p⊗q)ℵ∼ <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> ∼ <ℵ<p>><<ℵ><q>> is de uitdrukking die beide toestanden met elkaar verbindt en dit genereert de tralie van de laatst toegevoegde onderscheiding, de genererende tralie van de tralie van de klassieke hypothese.
Dat geeft ons een praktische manier om de inzichten in de onvermijdelijke dynamiek tussen twee toestanden om te zetten in berekeningen die met getallen mogelijk zijn, getallen die sporen zijn van die toestanden. We stellen ons dus een standpunt voor met de coëfficiënten (xi, ti) van een 1-splitsing met de laatst toegevoegde onderscheiding ℵ (namelijk (xi⊗ti)ℵ ), en een standpunt met de coëfficiënten (xj, tj) van dezelfde 1-splitsing (namelijk (xj⊗tj)ℵ ). In de orthogonale idempotente basissen van ℵ en <ℵ> zijn dat “klassieke getallen” en dus intensiteiten. De enige eenheden zijn (<>⊕<ℵ>) en (<>⊕ℵ).
(xi⊗ti)ℵ=<xi>⊕<ti>⊕<ℵ•xi>⊕ℵ•ti=xi•(<>⊕<ℵ>)⊕ti•(<>⊕ℵ)
(xj⊗tj)ℵ=<xj>⊕<tj>⊕<ℵ•xj>⊕ℵ•tj=xj•(<>⊕<ℵ>)⊕tj•(<>⊕ℵ)
De parameter x gebruiken we voor de coëfficiënten die in de twee zinnen kunnen waargenomen worden (kunnen toenemen en afnemen) dus wat betreft x kan (xi, ti) voor (xj, tj) waargenomen worden, of kan (xj, ti) voor (xi, tj) waargenomen worden. Dus (xi, ti) zou dan een noodzakelijke voorwaarde zijn voor (xj, tj) of omgekeerd en het duale geldt weer voor de voldoende voorwaarde. Voor parameter t is dit onmogelijk juist omdat deze het referentiepunt is voor een ordening die in twee zinnen kan waargenomen worden: dank zij t die lokaal alleen maar toeneemt (en bij het bereiken van evenwicht in de meting de intensiteit heeft van de laatst toegevoegde onderscheiding) kunnen we over een strikte ordening en dus “voor” en “na” spreken, over “noodzakelijk” en “voldoende”, niet alleen voor aspecten maar ook voor toestanden. We kunnen dat voorstellen door (xi, ti) ∼ (ni-ni+1, ni+ni+1) versus (xj, tj) ∼ (nj-nj+1, nj+nj+1). We kunnen niet alleen de getallen x01, x12, t01, t12, berekenen met de getallen n0, n1 en n2 maar we kunnen ook de getallen n0, n1 en n2 berekenen met de intervallen x01, x12 of x02 en de overeenkomstige intervallen t01, t12 en t02. Zo geldt bijvoorbeeld n0=½(x01+t01) en -n1=½(x01-t01) waarbij we een aantal met een negatief teken zien verschijnen (of waarbij we de niet-commutativiteit van de berekening x01-t01 zien verschijnen, een echo van de niet-commutativiteit van het creatief product of van de niet-commutatieviteit van de deling of de exponentiatie). Dus de meetprocedures voor x en t die heel verschillend zijn hebben we ook als zodanig geconstrueerd: voor t kiezen we een proces waarvan we enkel het beginpunt kunnen kiezen (er moet dus een getal zijn dat als het kleinste kan genomen worden) en dat dan in één richting doorgaat (voor de zin op die richting kunnen we niet meer kiezen, zin en stappen worden bepaald door onze beperkingen als het agens-in-context) en x blijkt dan meetbaar te zijn (x moeten we laten gebeuren en wat er gebeurt kunnen we vaststellen aan het spoor dat dan achtergelaten wordt, spoor dat zich hier als getal voordoet).
De rijen van sommen en verschillen van getallen die sporen zijn van waarnemingen kunnen we uiteindelijk ook gebruiken om de verhouding (ni-ni+1)/(ni+ni+1) te berekenen. Dat getal noemen we dan vij (dit is eigenlijk niet anders dan het ingewikkelder en daardoor verwarrender symbool vi(i+1)). De symbolen die we gebruiken zijn suggestief voor een opvallende mogelijke interpretatie van de getallen die we precies zullen expliciteren zonder a priori als we hiermee ook andere verhoudingen gaan opbouwen.
Een gevolg is dat de vorm ((<y>⊕<x>)⊗(y⊕x))ℵ∼(<gn>⊗gn)ℵ, met getallen en een gm die niet ingebouwd wordt in de tralie, de vorm krijgt: gm⊕(<gn>⊗gn)ℵ=((gm⊕<gn>)⊗(gm⊕gn))ℵ=gm⊕ℵ•<gn>. Dit is verschillend van een gm die zou ingebouwd worden: die zou gelijk zijn aan ℵ•(<gm⊕gn>). Dat zou dan de uitdrukking ((<gm>⊕<gn>)⊗(gm⊕gn))ℵ=ℵ•(<gm⊕gn>) opleveren, uitdrukking die duidelijk het verschil laat zien.
Dit betekent dus dat het verschil tussen een intervalmeting en een ratio meting verklaard kan worden door de veronderstelling, voor een ratio meting, dat gm=X met X de nulvector, dus de veronderstelling van beschikbaarheid van een nulpunt.