Dynamiek kan enkel gemodelleerd worden door twee elkaar uitsluitende toestanden te beschouwen met de unieke situatie dat ze tegengestelde waarde hebben. We hebben bewezen dat er met een verschil van beide (verschil dat niet commutatief is) een simultaneïteitsinterval kan geconstrueerd worden en dus wordt er een dimensie gemodelleerd. Dat interval wordt dus gevormd door een som van een toestand en de inbedding van een toestand. Een van beide kunnen we beschouwen als referentie, omdat er onvermijdelijk altijd een toestand ervaren is en die toestand kunnen we als een van beide toestanden nemen. Maar daar is natuurlijk niets absoluuts aan, de referentie is op zijn beurt ook aan verandering onderhevig. Het interval dat ontstaat tussen een toestand en het verschil met een andere toestand is onafhankelijk van de laatst toegevoegde onderscheiding en dus ontstaan er bovenop dat ene interval ook twee inverteerbare dimensies (inverteerbaar dank zij de laatst toegevoegde onderscheiding), die we A en B genoemd hebben omdat ze zich bevinden in één en hetzelfde simultaneïteitsinterval tussen <<>> en <>. A en B kwantificeren elk een ander stuk van hetzelfde interval tussen supremum en infimum.
Om van de twee intervallen één metrisch interval tussen <<>> en <> te kunnen maken moesten we een keuze maken van welk verschil we zouden modelleren en we kozen voor (<x>⊕y) tussen supremum x en infimum <y>. Om de beide inverteerbare intervallen te maken hebben we dan die extrema geselecteerd die het gewenste resultaat (simultaneïteit) opleverden, wat geleid heeft tot een interval met 5 niveaus:
Niveau 0: supremum: x
Niveau 1: (x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=A
Niveau 2: (<x>⊕y)
Niveau 3: (<y>⊗(<x>⊕y))ℵ=x⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>=B
Niveau 4: infimum: <y>
Dit is het gevolg van het feit dat we twee toestanden beschouwd hebben, namelijk x en y en die sluiten elkaar uit. Dus er geldt: <x>⊕<y>⊕x•y=<> en dit leidt onvermijdelijk tot de niet commutatieve vorm van een som op niveau 2. Dat is een som die gelijk kan zijn aan de nulvector X wanneer x en y zich niet onderscheiden en we dus geen dynamiek modelleren.
Een commutatieve vorm van een som heeft daarentegen het patroon (x⊕y). Als we dynamiek modelleren is dit patroon nooit gelijk aan de nulvector X. Dat zien we ook aan niveau 1 en niveau 3 waar de commutatieve som de eenheid is van de intensiteit ℵ versus <ℵ>: enkel ℵ gelijk aan X modelleert dynamiek. Dus de commutatieve som kunnen we gebruiken als de eenheid van dynamiek, eenheid die nooit nul zal zijn. Een commutatieve vorm van een som kunnen we bekomen als we de punten op de 5 niveaus sommeren met y (een som is distributief ten opzichte van het creatief product) dus:
Niveau 0: supremum: x⊕y
Niveau 1: y⊕(x⊗(<x>⊕y))ℵ=ℵ•x⊕ℵ•y=y⊕A
Niveau 2: (<x>⊕<y>)
Niveau 3: y⊕(<y>⊗(<x>⊕y))ℵ=x⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>=y⊕B
Niveau 4: infimum: X
Uit A=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y en B=x⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•x> leiden we onmiddellijk af:
A⊕y=<B>⊕x=ℵ•x⊕ℵ•y=<ℵ>•(<x>⊕<y>)
A⊕B=x⊕<y>
De som van die twee intervallen is blijkbaar onafhankelijk van de toegevoegde onderscheiding, en dit kunnen we interpreteren als onafhankelijk van de dynamiek. Er ontstaat hierbij een nieuwe eenheid (x⊕<y>) die de inbedding is van de eenheid op niveau 2: (<x>⊕y). Dus neemt A toe, dan neemt B af en vice versa. Dat zien we ook aan de intensiteit ℵ versus <ℵ>.
We zien ook een nieuwe uitdrukking: <ℵ>•(<x>⊕<y>)=A⊕y=<B>⊕x die we als volgt kunnen genereren:
A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
A-1=((<x>⊕y)⊗x)ℵ=<y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.
De commutator berekenen we door A⊕<A-1> en is dus <ℵ•x>⊕<ℵ•y>. Maar we kunnen nu ook <A>⊕A-1 berekenen en dit is ℵ•x⊕ℵ•y en dit is niet anders dan <ℵ>•(<x>⊕<y>)=A⊕y=<B>⊕x.
Maar ook:
B=(<y>⊗(<x>⊕y))ℵ=x⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>.
B-1=((<x>⊕y)⊗<y>)ℵ=x⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
De commutator berekenen we door B⊕<B-1> en is dus ℵ•x⊕ℵ•y. Maar we kunnen nu ook <B>⊕B-1 berekenen en dit is <ℵ•x>⊕<ℵ•y>.
De commutator kunnen we ook berekenen als een creatief product als volgt:
A=(x⊗(<x>⊕y))ℵ=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
<B>=(y⊗(x⊕<y>))ℵ=<x>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
En dus
y⊕A=y⊕(x⊗(<x>⊕y))ℵ=y⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=ℵ•x⊕ℵ•y.
x⊕<B>=x⊕(y⊗(x⊕<y>))ℵ=x⊕<x>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=ℵ•x⊕ℵ•y.
Door de distributiviteit van de som ten opzichte van het creatief product geldt dus:
y⊕A=((x⊕y)⊗(<x>⊕<y>))ℵ=ℵ•x⊕ℵ•y=x⊕<B>=((x⊕y)⊗(<x>⊕<y>))ℵ.
y⊕A=<x>⊕B
Er zijn dus altijd twee manieren om dezelfde dynamiek te modelleren als creatief product: y⊕A en <x>⊕B.
Het creatief product ((x⊕y)⊗(<x>⊕<y>))ℵ is gelijk aan ℵ•(x⊕y) en dat is de intensiteit ℵ van de eenheid (x⊕y), eenheid die nooit nul is als we dynamiek modelleren. Dit is niet anders dan de bestudeerde commutator. Deze commutatieve som (x⊕y) is niet anders dan de som van conjunctie en disjunctie van de toestanden x en y. We hebben bewezen dat dit ook niet verschillend is van de projector (<>⊕<x•y>). De afgeleide naar ℵ van dit creatief product is (x⊕y)•(<x>⊕<y>) en dat is niet anders dan (<<>>⊕<x•y>). Dit is orthogonaal met (x⊕y).
Onze interpretatie van de commutator blijkt niet anders te zijn dan de modulo3 interpretatie van het haakformalisme. Dit kan ons inspireren om nog andere commutatoren te berekenen en andere inverteerbare simultaneïteitsintervallen. We berekenen daarom de creatieve producten (met een laatst toegevoegde onderscheiding) van x met A, van <x> met A, van y met A en van <y> met A. Voor B bereiken we een gelijkaardig resultaat en werken we dus niet uit.
We berekenen nu (x⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (x⊗A)ℵ.
(x⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=<x>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y=A.
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗x)ℵ of dus (A⊗x)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗x)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<x>⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕ℵ•x=x
Het verschil van beide is de commutator van x met A, dus (x⊗A)ℵ⊕<(A⊗x)ℵ> of dus [x, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y. Dit is niet anders dan het product (x⊕y)•(<>⊕ℵ), een haakuitdrukking waaraan een waarde werd toegekend.
We berekenen nu (<x>⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (<x>⊗A)ℵ.
(<x>⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=x⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•x⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=<x>⊕<y>⊕ℵ•y.
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗<x>)ℵ of dus (A⊗<x>)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗<x>)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕x⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>=ℵ•x
Het verschil van beide is de commutator van <x> met A, dus (<x>⊗A)ℵ⊕<(A⊗<x>)ℵ> of dus [<x>, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y.
We berekenen nu (y⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (y⊗A)ℵ.
(y⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=<y>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•y>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=x⊕y⊕<ℵ•x>
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗y)ℵ of dus (A⊗y)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗y)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕<y>⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕ℵ•y=<x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y
Het verschil van beide, dus (y⊗A)ℵ⊕<(A⊗y)ℵ> of dus [y, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•y>.
We berekenen nu (<y>⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ of dus (<y>⊗A)ℵ.
(<y>⊗(x⊗(<x>⊕y))ℵ)ℵ=y⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕ℵ•y⊕<ℵ•y>⊕ℵ•ℵ•x⊕ℵ•ℵ•y=x⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>
We berekenen nu het invers ((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗<y>)ℵ of dus (A⊗<y>)ℵ
((x⊗(<x>⊕y))ℵ⊗<y>)ℵ=y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>⊕y⊕ℵ•y⊕<x>⊕<y>⊕<ℵ•y>=<x>⊕y⊕<ℵ•x>⊕<ℵ•y>
Het verschil van beide, dus (<y>⊗A)ℵ⊕<(A⊗<y>)ℵ> of dus [<y>, A] is de uitdrukking <x>⊕<y> en deze is de nieuwe eenheid die onafhankelijk is van ℵ.
[x, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕ℵ•x⊕ℵ•y.
[<x>, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•x>⊕ℵ•y.
[y, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>⊕<ℵ•y>.
[<y>, A] is de uitdrukking <x>⊕<y>.
Er ontstaat blijkbaar een gezamenlijke referentie die een nieuwe eenheid voorstelt, namelijk (<x>⊕<y>) en dat is de commutatieve som die we al besproken hebben.
Dit resultaat maakt het interessant om te onderzoeken wat er gebeurt bij mogelijke referenties in drie toestanden. Voor drie toestanden hebben we minimaal een twee onderscheidingen universum nodig en we zouden dus meerdere referenties kunnen veronderstellen. Dit brengt onmiddellijk met zich mee dat we niet alleen een verschil van twee toestanden kunnen voorstellen, maar ook een verschil van twee “verschillen van toestanden”. We krijgen dan meerdere soorten verschillen en meerdere soorten referenties.
Om dit te modelleren moeten we eerst onderzoeken hoe we drie toestanden op een unieke manier kunnen coderen in het patroon dat we toe nu toe gebruikt hebben, namelijk “een verschil”.