We veronderstellen een beperkt aantal positieve getallen: g₁, g₂, g₃, ...g_n en de reciproque getallen: 1/g₁, 1/g₂, 1/g₃, ...1/g_n.

Zoals bekend zijn er drie soorten gemiddelde te berekenen in het getallendomein door gebruik te maken van de operaties + en ×. Elk gemiddelde is idempotent voor de gekozen operaties en zal dus de functie van eenheid kunnen vervullen.

• Het rekenkundig gemiddelde RG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼(g₁+g₂+g₃+...+g_n)×1/n

• Het geometrisch gemiddelde GG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼(g₁×g₂×g₃×...×g_n)^1/n

• Het harmonisch gemiddelde HG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼1/(1/g₁+1/g₂+1/g₃+...+1/g_n)×n

Met het inzicht dat we de reciproque als “iets anders” in het getallendomein kunnen voorstellen, kunnen we de gemiddelden nu ook noteren als:

RG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼(g₁+g₂+g₃+...+g_n)×<n>

GG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼(g₁×g₂×g₃×...×g_n)^<n>

HG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)∼<<g₁>+<g₂>+<g₃>+...+<g_n>>×n

We kunnen uiteraard ook de volgende gemiddelden berekenen door de operatie van inbedding enkel uit te voeren op de g_i:

RG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)∼(<g₁>+<g₂>+<g₃>+...+<g_n>)×<n>

GG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)∼(<g₁>×<g₂>×<g₃>×...×<g_n>)^<n>

HG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)∼<<<g₁>>+<<g₂>>+<<g₃>>+...+<<g_n>>>×n

Hieruit volgt dat:

<RG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼<(<g₁>+<g₂>+<g₃>+...+<g_n>)×<n>>

<GG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼<(<g₁>×<g₂>×<g₃>×...×<g_n>)^<n>>

<HG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼<<<<g₁>>+<<g₂>>+<<g₃>>+...+<<g_n>>>×n>

Omdat de reciproque (de inbedding) enkel op het getalproduct ageert en niet op de exponent stellen we nu vast dat

<RG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼<<g₁>+<g₂>+<g₃>+...+<g_n>>×n∼HG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)

<GG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼<(<g₁>×<g₂>×<g₃>×...×<g_n>)^<n>>∼(g₁×g₂×g₃×...×g_n)^<n>×<g₁×g₂×g₃×...×g_n>

<HG(<g₁>, <g₂>, <g₃>, ...<g_n>)>∼(g₁+g₂+g₃+...+g_n)×<n>∼RG(g₁, g₂, g₃, ...g_n)

Enkel RG en HG zijn aan elkaar gerelateerd. GG staat daarbuiten omdat het enkel aan zichzelf gerelateerd is door de exponent.