Een complex getal x+iy kan geïnterpreteerd worden als de coëfficiënt van de ervaren standpunt-vector in een gekozen universum. Een standpunt is een welgevormde haakuitdrukking en elke welgevormde haakuitdrukking kan als het vectorproduct van twee andere uitgedrukt worden. In het getallendomein zijn vectorproducten als getalproduct of getalverhouding gemodelleerd. We vragen ons nu af van welke complexe getallen het getal x+iy een product kan zijn, aangezien het waargenomen punt dat door x+iy voorgesteld wordt, ook door een vectorvermenigvuldiging voorgesteld wordt.
We merken nu op dat er twee mogelijkheden zijn:
(a+ib)(c+id) = x+iy
Wanneer x = ac - bd en y = bc + ad
(a+ib)(c-id) = x+iy
Wanneer x = ac + bd en y = bc - ad
In matrix notatie wordt dit
Oplossing 1: x = ac - bd en y = bc + ad
Het punt (a,b) wordt door de matrix getransformeerd in het punt (x,y).
of equivalent
Oplossing 2: x = ac + bd en y = bc – ad
of equivalent
We merken nu ook op dat dit exact dezelfde oplossingen zijn als voor de volgende vermenigvuldiging van het patroon van een som van kwadraten:
(a2+b2)(c2+d2) = x2 + y2
En het rechterlid is per constructie gelijk aan 1 want
x=cosθ = (n-m-p)1/2(n-m)-1/2
y=sinθ = p1/2(n-m)-1/2
De hoek θ kunnen we uitdrukken in andere hoeken wanneer we opmerken dat
cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ + cosαsinβ
Neem nu:
a=cosα
b=sinα
c=cosβ
d=sinβ
Dan komt dit overeen met oplossing 1: x = ac - bd en y = bc + ad
Dus
(cosα+i sinα)( cosβ+i sinβ) = cosαcosβ - sinαsinβ+i(sinαcosβ + cosαsinβ)=
cos(α+β)+isin(α+β)
Maar er geldt ook
cos(α-β)=cosαcosβ + sinαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ - cosαsinβ
Overeenkomend met oplossing 2: x = ac + bd en y = bc - ad
De matrix is dus een rotatie waarbij cos en sin kleiner zijn dan 1.
Maar ook equivalent
Een hoek (die als spoor van een rotatie kan geïnterpreteerd worden) kan altijd als volgt gevonden worden vanuit waarnemingen en gerelateerde metingen:
cosθ = (n-m-p)1/2(n-m)-1/2
sinθ = p1/2(n-m)-1/2
Die hoek is een som van hoeken, dus
cos(α+β) = (n-m-p)1/2(n-m)-1/2
sin(α+β) = p1/2(n-m)-1/2
Maar ook een verschil van hoeken
cos(α-β) = (n-m-p)1/2(n-m)-1/2
sin(α-β) = p1/2(n-m)-1/2
Laten we dit toepassen voor een α meetcontext in het grootste universum
cosα = (n-m1-p1)1/2(n-m1)-1/2
sinα = p11/2(n-m1)-1/2
Laten we dit toepassen voor een β meetcontext in het grootste universum
cosβ = (n-m2-p2)1/2(n-m2)-1/2
sinβ = p21/2(n-m2)-1/2
Dan vinden we de karakterisering van het gemeenschappelijk punt met
cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ + cosαsinβ
of
cos(α-β)=cosαcosβ + sinαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ - cosαsinβ
Er moet dus gelden:
(n-m-p)1/2(n-m)-1/2 = (n-m1-p1)1/2(n-m1)-1/2(n-m2-p2)1/2(n-m2)-1/2- p11/2(n-m1)-1/2 p21/2(n-m2)-1/2
p1/2(n-m)-1/2 = p11/2(n-m1)-1/2(n-m2-p2)1/2(n-m2)-1/2 + (n-m1-p1)1/2(n-m1)-1/2 p21/2(n-m2)-1/2
of ook
(n-m-p)1/2(n-m)-1/2 = (n-m1-p1)1/2(n-m1)-1/2(n-m2-p2)1/2(n-m2)-1/2+ p11/2(n-m1)-1/2 p21/2(n-m2)-1/2
p1/2(n-m)-1/2 = p11/2(n-m1)-1/2(n-m2-p2)1/2(n-m2)-1/2 - (n-m1-p1)1/2(n-m1)-1/2 p21/2(n-m2)-1/2
Dit is verder uitbreidbaar want elke nieuwe hoek kan als som of verschil van andere hoeken geïnterpreteerd worden, waarbij een deel van de getalmatige interpretatie kan gemeten worden en een deel vrij moet gekozen worden.
De onvermijdelijke structuur in het variabele deel van de werkelijkheid zullen we dus altijd kunnen beschrijven met hoeken, rotaties en verhoudingen. De getallen die zo ontstaan drukken de relaties uit in een tralie waarin dynamiek gemodelleerd wordt. Indien we willen kunnen we die dynamiek dus als een hoeksnelheid modelleren, een mogelijke interpretatie van een meer abstracte processnelheid.