Atoompatronen veronderstellen alle onderscheidingen die een universum opspannen. Dit juist is de betekenis van een atoom. Dit betekent ook dat met elke (deel)selectie die als atoompatroon kan geschreven worden, een universum kan opgespannen worden waar die selectie een atoompatroon van is. Dit betekent ook dat het mogelijk is dat bepaalde selecties elkaar uitsluiten zonder dat ze atomen zijn van het universum. De selectie (convergentie) kan enkel doorgaan door een actie uit te voeren. Inderdaad, convergentie gebeurt door een collaps binnen een universum waarbij er punten irrelevant worden. Convergentie kan uitgevoerd worden met de vectorvermenigvuldiging en met het creatief product en divergentie enkel met het creatief product.

• Convergentie met het vectorproduct vereist maar twee punten, stel x en y, en genereert een tralie die het resultaat is van de veronderstelling x↔y of dus <<x<y>><<x>y>>↔<>. Aangezien atomen elkaar uitsluiten is er hierbij geen verschil met het creatief product, maar die eigenschap beperkt zich dus niet tot atomen en geldt voor alle elkaar uitsluitende punten. Alle punten uit een universum kunnen door een vectorproduct van AND-atoompatronen of door een transformatie van OR-atoompatronen geconstrueerd worden en elk punt kan een waarde toebedeeld krijgen. Convergentie met het creatief product vereist drie punten en is uit te voeren door elk punt als <a<x>><<a><y>> te schrijven, waarbij a (of <a>) een waarde krijgt en dan a of <a> als irrelevant kan weggelaten worden, waarbij enkel x of y als relevante aspecten genomen worden. Een algemene constructie om dit mogelijk te maken is beschikbaar.

• Divergentie is enkel uit te voeren met het creatief product door elk punt als <a<x>><<a><y>> te schrijven met a als toegevoegde onderscheiding bij een universum opgespannen door x en y. Hierbij ontstaan nieuwe punten die zich als atomen gedragen (zonder dat ze in het nieuw universum atomen zouden moeten zijn), namelijk <a<x>> en <<a><y>> want beide potentiële nieuwe punten sluiten elkaar uit, wat tevens de collaps illustreert in het grotere universum.

Het moet dus mogelijk zijn om universa in elkaar te transformeren, minimaal door alle gebruikte onderscheidingen initieel als onafhankelijk van elkaar te beschouwen en hiermee één groter universum op te spannen dat dan op zijn collapsen kan onderzocht worden. Als dat gedaan wordt voor de atomen zullen ook alle welgevormde haakuitdrukkingen meegenomen worden (aangezien elke welgevormde haakuitdrukking als een transformatie van (een selectie van) de atomen kan geconstrueerd worden) maar dat hoeft niet beperkt te worden tot atomen.

Een eerste stap hiertoe is het classificeren van transformaties van de atoompatronen van twee universa, waarbij elk atoompatroon kan afgebeeld worden op een onderscheiding van een twee-onderscheidingen universum. Er zijn vier mogelijke atoompatronen <<x>_i>, <<y>_j>, x_i, y_j. Er zijn daarom 32 mogelijke binaire relaties tussen atoompatronen van het x universum en het y universum die in een simulaneïteitsrelatie staan tot elkaar in een groter universum. We lijsten ze hierbij op waarbij duidelijk wordt dat alle combinaties aan bod komen.

Simultaneïteit hierin is essentieel en om dat aan te tonen zullen we dat doen met slechts één van de 32 mogelijkheden, namelijk met x_i en y_j, die de meest eenvoudige voorstellingswijze hebben. Er blijken immers maar drie klassen onderscheiden te kunnen worden die de transformaties karakteriseren tussen die twee atoompatronen:

• Tussen een nevenschikking van atomen en dezelfde nevenschikking maar met minder atomen

• Tussen een nevenschikking van atomen en een nevenschikking van de inbedding van slechts een deel van de atomen

• Tussen twee nevenschikkingen van atomen die geen relatie hebben met elkaar.

De tabel maakt een en ander formeel duidelijk.

Bewijs van de eerste gereduceerde uitdrukking

y_j↔x_iy_j

<<y_j<x_iy_j>><<y_j>x_iy_j>>

<<y_j<x_i>><<>x_iy_j>>

<<y_j<x_i>><<>>>

<<y_j<x_i>>>

y_j<x_i>

QED

Bewijs van de tweede gereduceerde uitdrukking

<y_j>↔x_iy_j

<<<y_j><x_iy_j>><y_jx_iy_j>>

<<<y_j><x_iy_j>><x_iy_j>>

<<<y_j>><x_iy_j>>

<y_j<x_iy_j>>

<y_j<x_i>>

QED

Bewijs van de derde uitdrukking

Dit is de definitie van ↔

QED

De formele notering van een transformatie maakt het zeer duidelijk dat de transformatie die een isomorfisme is kan opgesplitst worden in twee deelmorfismen (f en g) waarvoor de linker zijde en de rechterzijde van de dubbele pijl het domein (DOM) en codomein (COD) geven.

De tabel maakt dit duidelijk

Eigenschappen van de deelmorfismen zullen nu afhankelijk zijn van de grootte (aantal onderscheidingen) en de soort (nevenschikking of de inbedding van een nevenschikking) van de beschouwde (delen van) onderscheidingen universa.

In het eerste en het tweede geval is CODf een uitbreiding van DOMf: beide universa hebben gemeenschappelijk onderscheidingen. Indien DOM en COD niet gebaseerd zijn op gemeenschappelijke onderscheidingen dan drukt de transformatie een punt uit in het universum dat door de onderscheidingen van beide opgespannen wordt. Het punt dat de transformatie uitdrukt bevindt zich in dat universum dan op centraal niveau.

We bewijzen nu dat de classificatie volledig is.

Eerste geval: de gereduceerde haakuitdrukking is een nevenschikking: het kleinere domein is ruimer dan zowel het codomein als de transformatie

Te bewijzen: <y_j>x_iy_j↔<>

Bewijs

<y_j>x_iy_j

<>x_iy_j

<>

QED

Te bewijzen: <y_j><x_i>y_j↔<>

Bewijs

<y_j><x_i>y_j

<><x_i>y_j

<>

QED

Tweede geval: de gereduceerde haakuitdrukking is de inbedding van een nevenschikking: de transformatie is ruimer dan beide (co)domeinen.

Te bewijzen: <<<x_i>y_j>><y_j>↔<>

Bewijs

<<<x_i>y_j>><y_j>

<x_i>y_j<y_j>

<x_i><>

<>

QED

Te bewijzen: <<<x_i>y_j>>x_iy_j↔<>

Bewijs

<<<x_i>y_j>>x_iy_j

<x_i>y_jx_iy_j

<>y_j

<>

QED

Derde geval: de haakuitdrukking kan niet verder gereduceerd worden: geen van de drie elementen (transformatie, domein, codomein) hebben een simultaneïteitsrelatie.

QED

Er zijn dus maar drie mogelijke relatie types tussen de drie betrokken punten van een transformatie van atoompatronen van twee (deel)universa, aangezien elk atoompatroon als (co)domein op een onderscheiding van het twee-onderscheidingen universum is af te beelden en alle transformaties in dit universum in een van deze drie categorieën onder te brengen is en er geen andere categorieën kunnen geconstrueerd worden.

De transformaties tussen atoompatronen vormen een viergroep van Klein

We geven één voorbeeld door een Cayley tabel te construeren voor de vier atoompatronen betrokken bij de transformatie. We kiezen als focus het atoompatroon x_i. Elke rij en elke kolom vermeldt de drie betrokken patronen slechts éénmaal. Samen met <> vormen de drie atoompatronen een viergroep van Klein.

Bespreking en relevantie voor het ontwerpen

Convergentie kan dus bestudeerd worden enkel door de transformaties van atoompatronen te onderzoeken (atomen die in werkelijkheid blijken relevant te zijn). Het is dus mogelijk om te bestuderen wat de relatie is van universa tot elkaar die deels met dezelfde onderscheidingen opgespannen worden (die niet a priori moeten gekend worden). Het belang hiervan bij het ontwerpen van universa is dat de ontwerper kan convergeren naar een deeluniversum dat enkel door relevante onderscheidingen opgespannen wordt, of kan divergeren naar een universum waarin een grotere keuzevrijheid tussen onderscheidingen zou kunnen bestaan (indien ..., dan...). Daarenboven: als een ontwerper een nieuw aspect ervaarbaar wil maken zal het ervaren door een bepaalde stakeholder altijd gebeuren in een grootste universum dat voor die stakeholder bereikbaar is en dat de ontwerper misschien kan ontsluiten. Essentieel bij de ontwikkeling van het haakformalisme is immers dat er geen "voorkeur-universum" nodig is. Het is altijd mogelijk om te proberen om universa op te spannen op basis van verschillende onderscheidingen, en daar de ervaringsmogelijkheden (simultaneïteitsrelaties) van te onderzoeken. Ontwerpen is het vertalen van mogelijkheden in beperkingen, het transformeren van “sommige” in “alle”.