De constructie van een willekeurige welgevormde andersduale haakuitdrukking maakt duidelijk dat entiteiten of soorten in het haakformalisme ook voorgesteld kunnen worden door atoomburen. We geven hierbij een overzicht hoe atoomburen in een n-onderscheidingen universum uit een orthogonale basis in het (n-1)-onderscheidingen universum kunnen geconstrueerd worden, waarbij zich verschillende patronen manifesteren. We volgen een schema waarin dezelfde atoomburen gebruikt worden, uiteraard zijn er meerdere andersduale atoomburen.

Een atoombuur in n=2

b•a=b•a•(<>⊕<>)⊕<<>>•(<>⊕<<>>)

Een atoombuur in n=3

<>⊕b•a⊕c•a⊕c•b=<<>>•(<>⊕b•a)⊕<c•a>•(<>⊕<b•a>)

Een atoombuur in n=4

(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕d•(<a>⊕<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)=<d•c•b•a>•(<>⊕<>⊕b•a⊕c•a⊕c•b)⊕<<>>•(<>⊕<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)

...

Elk atoom heeft zijn contraduaal. Beide bestaan uit een deel van de som dat identiek is en een deel dat de inbedding is van elkaar. Ze kunnen dus voorgesteld worden als punten opgespannen door onderscheidingen waarvan de inbedding van één van de onderscheidingen het contraduale atoom geeft. De soort waarvan de atomen voorbeelden zijn wordt gegeven door hun OR (niet verschillend van de XOR), en per constructie is deze soort een andersduaal in een 1-lager universum. Atomen kunnen niet als soort functioneren die geteld kan worden, maar atoomburen wel. Elke atoombuur genereert twee contradualerende atomen die gestuurd worden door het toevoegen van een nieuwe onderscheiding of het toevoegen van de inbedding ervan. Dit illustreren we met een voorbeeld van twee atoomburen uit het vier onderscheidingen universum:

(-++++++++++++++-) ∼ (<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕d•(<a>⊕<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)

(+++++++--+++++++) ∼ (<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕<d>•(<a>⊕<b>⊕<c>⊕<c•b•a>)

Beide zijn ze simultaan met vier elkaar contradualerende atomen, (-+++++++++++++++), (+++++++++++++++-), (+++++++-++++++++), (++++++++-+++++++). De twee atoomburen zijn van de soort (of dus de telbare entiteit) (-++++++--++++++-) of als haakvectorsom (<>⊕<(<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)>). Met het binair formalisme is het gemakkelijk te controleren dat deze soort inderdaad een OR is die niet verschilt van een XOR. Deze soort is ook in n-1=3 gedefinieerd als <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b en dat is een atoom voor c=<<>> enerzijds en c=<> anderzijds in n-2=2, namelijk de elkaar contradualerende atomen <>⊕b•a⊕a⊕b versus <>⊕b•a⊕<a>⊕<b>. Dit zijn de atomen die <b•a> genereren als telbare entiteit. En <b•a> genereert dan op zijn beurt twee atomen, enerzijds voor b=<<>>, anderzijds voor b=<> in een universum lager en de beide atomen in dat universum zijn van de soort <>.

We kunnen dit ook anders formuleren: wanneer we elke onderscheiding van een n-1 atoom, inclusief de oneven vectorproducten, vermenigvuldigen met een nieuwe onderscheiding die enkel optreedt in het n onderscheidingen universum, dan gaan we van het atoom-niveau in n-1 (gegeven door de twee niet commuterende creatief producten op n-2 met een toegekende waarde voor een van de onderscheidingen, bijvoorbeeld de laatste) naar een niveau onder het atoomniveau in het n universum. Dat laatste niveau is terug telbaar. De twee niveau's onderscheiden zich door <> dat zich al dan niet in de vectorsom bevindt.

Overzicht van de telbare atoomburen, van n=1 tot n=4

In de eerste kolom geven we het onderscheidingen universum, in de tweede kolom het totaal aantal soorten, in de derde kolom de soort uit het uitgewerkte voorbeeld en in de laatste kolom de overige soorten. Het totaal aantal soorten is een veelvoud van vier (dus 2¹*2) en toont aan dat elke soort op een atoom van het vorige universum is af te beelden.

In de tabel komt goed tot uiting dat het patroon van de toevoeging van <> of <<>> in de vectorsom die de welgevormde uitdrukking van de soort weergeeft, een belangrijke rol speelt.

Er zijn vier soorten in n=3, er zijn acht soorten in n=4. Die soorten zijn dus af te beelden op de atomen van een ander universum, respectievelijk een n=2 en een n=3 universum, waarin de vectorproducten de rol spelen van onderscheidingen.

Gevolg

Rotatie met het hoogste vectorproduct van punten op centraal niveau toont de atoomburen op een niveau lager.

Neem in drie onderscheidingen het zelfduaal punt op centraal niveau <c•b•a>⊕a⊕b⊕c ∼ 0001.0111. Dat is niet anders dan <c•b•a>•(<<>>⊕<c•b>⊕<c•a>⊕<b•a>) waarbij <<>>⊕<c•b>⊕<c•a>⊕<b•a> ∼ 1000.0001 een andersduaal punt is dat als concatenatie van atomen in een twee onderscheidingen universum te beschouwen is.

<c•b•a>•(<<>>⊕<c•b>⊕<c•a>⊕<b•a>) schrijven we nu als c•b•a•(<>⊕c•b⊕c•a⊕b•a) en (<>⊕c•b⊕c•a⊕b•a) is een concatenatie van AND atomen die andere uitsluit, de andere concatenaties zijn (<>⊕<c•b>⊕c•a⊕<b•a>), (<>⊕c•b⊕<c•a>⊕<b•a>), (<>⊕<c•b>⊕<c•a>⊕b•a).

(<>⊕c•b⊕c•a⊕b•a) is 0111.1110

(<>⊕<c•b>⊕c•a⊕<b•a>) is 1101.1011

(<>⊕c•b⊕<c•a>⊕<b•a>) is 1011.1101

(<>⊕<c•b>⊕<c•a>⊕b•a) is 1110.0111

Deze zijn van het type centraal punt in een drie dimensionale basis als ze waarde <<>> hebben. Ze genereren de klein viergroep en achtgroep structuren met hun opbouwende projectoren (zoals bv <>⊕c•b of <>⊕c•b•a).

De (telbare) atoomburen zijn voldoende om de tralie te construeren van gelijk welke operationeel te onderbouwen werkelijkheid. Die tralie is dus op te bouwen vanuit telbare soorten die het karakter hebben van eenheden, wanneer men de eenheden aanpast aan het onderliggend onderscheidingen universum en waarbij dus dit universum collapst indien men de eenheid een waarde geeft. Merk op dat het niet nodig is de eenheid een waarde te geven, hij kan in het haakformalisme zonder waarde, zonder “getal te zijn”, gemanipuleerd worden op een coherente manier. Dit betekent dat elk welgevormd haakelement uit een tralie kan geassocieerd worden met een getal dat als een som van deelgetallen kan berekend worden, deelgetallen die opgebouwd worden door slechts een paar getallen die de hele tralie kunnen opspannen. Deze getallen worden ook (eenheids)tensoren genoemd.

De “diepste” soort is het begrip “onderscheiding” en niet het begrip “entiteit”. Dat betekent dat het altijd mogelijk is het aantal onderscheidingen te tellen en dus de grootte van een universum dat door een agens-in-context kan opgespannen worden. Het is de focus op entiteiten “die zouden moeten blijven bestaan” (in plaats van op onderscheidingen) die communicatie (in het grootste onderscheidingen universum) exponentieel moeilijker maakt. Het is de focus op entiteiten, en dus op telbaarheid, die ongewilde complexiteit binnenbrengt.