We hebben bewezen dat het niveauverschil tussen twee haakuitdrukkingen in de tralie van een welbepaald gekozen onderscheidingen universum voldoet aan de voorwaarden voor een metriek. De binaire metriek is goed gedefinieerd voor gelijk welk aantal bits en kan ook gebruikt worden voor niet welgevormde haakuitdrukkingen. We hebben het verschil dat we dan konden tellen een metrische afstand genoemd, een begrip dat primitiever of meer abstract is dan een fysische afstand. Wat we tellen is het niveauverschil tussen twee simultane haakuitdrukkingen, dus een simultaneïteitsafstand als intensiteit van een simultaneïteitsinterval en dat komt niet overeen met een fysische afstand. Een fysisch geometrische interpretatie doet een bijkomende veronderstelling: de welgevormde haakuitdrukkingen moeten elkaar uitsluiten (zoals punten in de ruimte of momenten in tijd die niet simultaan kunnen ervaren worden, waarvan de conjunctie waarde <<>> heeft, dus “neen”). Als we een tralie tekenen met bijvoorbeeld 16 welgevormde haakuitdrukkingen (dus in twee onderscheidingen), dan verbinden we haakuitdrukkingen met elkaar terwijl veel haakuitdrukkingen in het voorgestelde universum elkaar in werkelijkheid niet uitsluiten en deel uitmaken van één simultaneïteitsinterval. Die “verbindingen” zijn geen “afstanden” die met fysische afstanden overeenkomen, ze zijn abstracter: de verbindingen stellen een metriek voor en de tekening van de tralie is slechts een model om de abstracte relatie van simultaneïteit te kunnen voorstellen. De tralie moet daarom gezien worden als een “pre-geometrie” zoals bedoeld werd door John Archibald Wheeler en gelijkt dan het meest op een “causal set” die in die context ontwikkeld werd. We hebben de metriek in een tralie met voorbeelden geïllustreerd. We toonden dan aan dat twee willekeurige haakuitdrukkingen altijd in twee “dimensies” kunnen gekwantificeerd worden. Als twee haakuitdrukkingen enkel in een twee dimensionale metriek kunnen verschillen van elkaar dan is dat ten opzichte van hun infimum (typische keuze hiervoor is hun disjunctie) of hun supremum. Om geen keuze te moeten maken in de dualiteit kunnen we dan spreken van een extremum. Er zijn dus altijd drie haakuitdrukkingen bij betrokken. De ene haakuitdrukking verschilt met het extremum in één metrische dimensie, de andere haakuitdrukking verschilt met hetzelfde extremum in één andere metrische dimensie. In de geometrische interpretatie kunnen we dan spreken van “een oppervlak”. Meer dan “een oppervlak” of “twee dimensies” moeten we dus niet veronderstellen.
Om te vermijden dat het begrip “afstand” fysisch zou geïnterpreteerd worden bij de studie van het haakformalisme, kunnen we daarom ook een meer primitieve maat gebruiken om twee haakuitdrukkingen ten opzichte van elkaar te kwantificeren: een inwendig verschil.
De bitstring voorstelling van twee verschillende haakuitdrukkingen p en q van eenzelfde tralie met ν bits kent maar twee soorten bits. Daarvan zullen er altijd een aantal gelijk zijn, noem dat aantal μ. Dus dan kan het niet anders dan dat het aantal bits waarop p en q verschillen gelijk is aan ν-μ met ν het totaal aantal bits van elk van de haakuitdrukkingen in de tralie waarmee verschillende p en q van elkaar kunnen verschillen. Met ν en μ kunnen we een getal construeren (het inwendig verschil). Het inwendig verschil van twee haakuitdrukkingen geeft het verschil tussen het aantal gelijke bits en het aantal verschillende bits. Als ν en μ bekend zijn is het inwendig verschil te berekenen. Maar ν moet niet a priori bekend zijn. Immers: p en q kunnen een a priori onbekend aantal bits hebben waarin ze niet verschillen. Dat zijn dan bits die in een grotere tralie relevant zouden kunnen zijn. Die bits zijn relevant voor de relatie met een extremum die zich in een grotere tralie kan bevinden (aangezien een extremum idempotent is voor de operatie conjunctie of disjunctie). We moeten dus een bijkomend aantal bits veronderstellen boven het maximum aantal waarmee p en q in een tralie kunnen verschillen en dat aantal hangt niet alleen van p en q af (en zomin van een andere haakuitdrukking uit de tralie) maar minstens van een derde welgevormde haakuitdrukking waarmee we zowel p als q zouden kunnen vergelijken in een grotere tralie. We nemen die derde haakuitdrukking dan als de haakuitdrukking r. Zo kunnen er veel “derde haakuitdrukkingen” zijn, want a priori kennen we de grootte van het universum niet. Dit is trouwens de manier waarop we de fundamentele (on)zekerheid van het grootste universum kunnen kwantificeren. Dit betekent dat we de grootte n van het aantal bits kunnen kiezen, zolang we maar kiezen dat het aantal n-ν positief is of gelijk aan nul (de tralie van p en q moet dus in die grotere tralie ingebed zijn). Indien we die grootte n niet kunnen kiezen, dan kunnen we die grootte laten blijken in een gebeuren. Dat is het enige axioma van het haakformalisme. De drie getallen n, ν en μ geven aanleiding tot verschillen die we kunnen tellen en die tellingen kunnen we gebruiken om een hoek θ te definiëren tussen p en q.
We definiëren een hoek θ dan als volgt: cos2θ=((n-μ)-(ν-μ))/(n-μ). Dit is een verhouding, een verschil van twee verschillen ten opzichte van het grootste verschil. Dat is niet anders dan (n-ν)/(n-μ). We definiëren dan ook een duaal als sin2θ=(ν-μ)/(n-μ). Dit is een verhouding, een verschil van één van de twee verschillen ten opzichte van het grootste verschil. Een hoek is daardoor onvermijdelijk een modulair concept want hieruit volgt: cos2θ+sin2θ=((n-μ)-(ν-μ))/(n-μ)+(ν-μ)/(n-μ))/(n-μ)=(n-μ)/(n-μ)=1. Dit is niet alleen geometrisch te interpreteren.
Het aantal n wordt bepaald, niet alleen door p, noch alleen door q, noch alleen door de tralie die door p en q opgespannen wordt, maar door de verschillende haakuitdrukkingen “van de soort r” waarmee we p en q zouden kunnen vergelijken in een grotere tralie. Dat betekent dat de hoek θ dus ook afhangt van die andere haakuitdrukkingen en dus niet alleen van een haakuitdrukking die maximaal zou kunnen verschillen van zowel p of van q in één en dezelfde tralie (dat zijn dus de haakuitdrukkingen <p> en <q>). Dit betekent ook dat we aan drie haakuitdrukkingen genoeg hebben om een “maximaal universum” te modelleren. Onvermijdelijk bestuderen we p en q altijd in de context van een soort r.
We kiezen er nu voor om cos2θ=((n-μ)-(ν-μ))/(n-μ) als getal te interpreteren (de sinus2 geeft een duale interpretatie). De cosinus2 is een verhouding, een getal tussen 0 en 1.
De cosinus2 is gelijk aan 1 in het geval ν=μ of dus (ν-μ)=0. Hierin is ν de maat die we gebruikt hebben om het aantal bits te kwantificeren waarmee p en q maximaal kunnen verschillen in een beperkte en gekozen context, en μ is de maat die we gebruikt hebben om de bits te kwantificeren waarin ze niet verschillen. Dus de cosinus2 is gelijk aan 1 in het geval dat p en q niet verschillen in die tralie, we gebruiken enkel twee verschillende symbolen om dezelfde welgevormde haakuitdrukking te bestempelen. Er geldt dus <<p<q>><<p>q>>↔<>.
De cosinus2 is gelijk aan 0 in het geval n=ν of dus (n-ν)=0 en ν is de maat die we gebruikt hebben om de tralie van p en q te kwantificeren waarin ze maximaal van elkaar kunnen verschillen. Deze tralie is dan een tralie die zich niet onderscheidt van een tralie met n bits (de maximale tralie met een laatst toegevoegde onderscheiding, onderscheiding waarvoor we misschien niet kunnen kiezen). Dus de cosinus2 is gelijk aan 0 in het geval dat die grotere context onbestaande is: p en q verschillen maximaal van elkaar, wat wil zeggen dat <p> niet te onderscheiden is van q. Er geldt dus <<<p><q>><pq>>↔<> en dat is niet anders dan <p<q>><<p>q>↔<>, de inbedding van de relatie die geldt bij de cosinus2 gelijk aan 1. Merk op dat dan geldt dat de conjunctie van p en q, namelijk <<p><q>> niet anders is dan <<>>: p en q sluiten elkaar uit ten opzichte van hun infimum, en in dat geval is het infimum niet anders dan <>. Ze zijn dus toestanden in één en hetzelfde universum (de context waarin ze niet verschillen) en worden dan als orthogonaal beschouwd, een orthogonaliteit die niet vanuit geometrische axioma’s gedefinieerd is.
Een cosinus2 tussen 0 en 1 hangt dus af van de context (die we kunnen modelleren met een soort r), het maximaal onderscheidingen universum, het universum met een “laatst toegevoegde onderscheiding” die enkel in de huidige toestand gerealiseerd wordt (een toestand sluit een andere uit), “bovenop” het persistente universum met één onderscheiding minder dan de “laatst toegevoegde onderscheiding” aangezien die onderscheiding niet in de tralie ingebouwd wordt. In het haakformalisme is de interpretatie hiervan duidelijk: een verhouding tussen 0 en 1 modelleert het gedrag van een entiteit.
Een cosinus kan natuurlijk ook een negatief getal zijn en dat leidt tot een duale beschrijving voor hetzelfde universum.
Dit herkennen we natuurlijk als de basis voor de definitie van een “cosinusgelijkenis” die nu veel gebruikt wordt om gelijkenissen te kwantificeren tussen entiteiten met zeer veel verschillende aspecten (typisch enkele duizenden aspecten) en die in de informatiewetenschappen toegepast wordt om bijvoorbeeld beelden of geluiden zo getrouw mogelijk te comprimeren, gegeven de beperkingen van de codering die men kan inzetten om te communiceren (de “bandbreedte”, het aantal bits per seconde).
Het is belangrijk om nu in te zien dat een hoek niet anders is dan een manier om een verhouding voor te stellen met een gekozen resolutie. Een hoek hoeft dus niet geometrisch geïnterpreteerd te worden. Immers: veronderstel drie getallen a, b en c en veronderstel dat a2+b2-c2=0 als grens van een waarnemingsresolutie die we gebruiken om de drie getallen te ordenen (nul is zeer klein en onwaarneembaar kleiner). We gebruiken kwadraten omdat elk priemgetal te schrijven is als ofwel een som van kwadraten, ofwel een verschil van kwadraten, ofwel in beide vormen en priemgetallen ontstaan als we tellen. Hieruit volgt: a2+b2=c2 en c verschilt van nul. Dus er geldt ook: (a/c)2+(b/c)2=(c/c)2. Tussen haken staan enkel verhoudingen (en dus schaalfactoren). Dus (a/c)2+(b/c)2=1 en dus is dit een benadering met rationale getallen van (sinθ)2+(cosθ)2=1. Hieruit volgt dan de verhouding die we tan2θ noemen: tan2θ=(ν-μ)/(n-ν). Rationale getallen kunnen we kiezen, irrationale getallen kunnen enkel gebeuren. Het Pythagorees drietal (a, b en c) is altijd vanuit andere getallen te construeren en daarmee kunnen we ook altijd een vlakke geometrie voorstellen als een rechthoekige driehoek.
Het begrip hoek kunnen we dus ook zien als de kwantificering van (on)zekerheid, de kwantificering van de “afwijking van nul”, hoe groter we c kunnen kiezen, hoe kleiner de getallen (a/c)2 of (b/c)2 kunnen worden. De grootte van c is niet a priori bepaald en moet in werkelijkheid blijken uit onze experimenten die op zoek gaan naar een verschil dat een verschil maakt in onze werkelijkheid (de potentiële werkelijkheid die we met behulp van onze beperkingen geconstrueerd hebben). Dank zij het begrip “hoek” kunnen we daarom verschillende eenheden van elkaar onderscheiden die voorbeelden zijn van eenzelfde soort (een soort is een disjunctie van eenheden die dan “als soort” geen verschil meer maken dat een verschil maakt).
Dank zij het begrip “hoek” herkennen we nu ook frequentie in zijn fysisch geometrische interpretatie: een frequentie is een hoeveelheid per stap, een a priori onbekend aantal elkaar uitsluitende toestanden per stap, waarbij de stap repetitief (met zekerheid dus) doorlopen wordt. Geïnterpreteerd als fase beschrijft de hoek hoe eenheden elkaar kunnen versterken of vernietigen (resonantie) en dus hoe intensiteiten kunnen ontstaan en verdwijnen in een al dan niet geometrisch geïnterpreteerd universum. Het is dat wat voor het eerst in 1926 geïllustreerd werd door het golfkarakter van de oplossingen voor de Schrödinger vergelijking: wat gebeurt en wat waargenomen kan worden zijn niet meer van elkaar te onderscheiden (er is dan van feedback geen sprake) en er zijn dan slechts statische uitspraken mogelijk.
Wanneer we een geometrische interpretatie willen vermijden dan kunnen we altijd spreken van simultaneïteit en daar kunnen we veel voorbeelden van geven. Simultaneïteit is een fundamenteel logisch concept dat nog helemaal niet doorgedrongen is in de wetenschap.