We hebben gezien dat de hele verzamelingenleer te reconstrueren is in het haakformalisme en dat we ook hiervoor twee vormen, twee soorten deelverzamelingen, nodig hebben: <<x>n> en xn.
We zullen nu twee verschillende verzamelingen ten opzichte van elkaar onderzoeken. We gebruiken daarom de vier basiselementen <<x>i>, <<y>j>, xi, yj, die de twee verzamelingen kunnen voorstellen als deelverzamelingen. We onderzoeken dus de mogelijke relaties van een (of meer) elementen van de ene verzameling met een (of meer) element uit de andere verzameling, terwijl we abstractie maken van de duidelijke relaties die bestaan tussen <<x>i> en xi (en ook tussen <<y>j> en yj). We kunnen hiermee slechts 32 mogelijk relaties construeren van deelverzameling ten opzichte van superverzameling en geen andere zonder dat er operationele verwarring kan bestaan rond de kwantoren sommige (∃) elementen en alle (∀) elementen. Sommige relaties die in het haakformalisme gemakkelijk uitgedrukt worden komen ook niet voor in deze tabel omdat ze in de klassieke verzameling-theoretische formulatie van de eerste orde niet uitgedrukt kunnen worden. Bijvoorbeeld: <<xi><yj>> is een element van <<xi<yj>><<xi>yj>> die op zijn beurt een element is van zowel xi<yj> als <xi>yj. Dit is een toepassing van het feit dat een AND simultaan een XNOR impliceert, die op zijn beurt simultaan een OR impliceert.
De 32 mogelijkheden die we onderzoeken zijn opgesplitst in 8 groepen van 4.
|
Nummering |
Welgevormde haakuitdrukking |
Verzameling-theoretisch equivalent |
|
1.1 |
<<x>i><<y>j> |
De existentie van alle x of alle y ∃<x>, ∀y, <x>∈y en ook ∀x, ∃<y>, <y>∈x |
|
1.2 |
<<x>i><y>j |
∀x, ∀y, y∈x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∈<y> |
|
1.3 |
<<x>i><yj> |
∀x, ∃y, y∈x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∈<y> |
|
1.4 |
<<x>i>yj |
∃<x>, ∃y, <x>∈y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∈x |
|
2.1 |
<x>i<<y>j> |
∀x, ∀y, x∈y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∈<x> |
|
2.2 |
<x>i<y>j |
De existentie van een <x> of een <y> ∃<x>, ∀y, y∈<x> en ook ∀x, ∃<y>, x∈<y> |
|
2.3 |
<x>i<yj> |
∃<x>, ∃y, y∈<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∈<y> |
|
2.4 |
<x>iyj |
∃<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∀x, ∃y, x∈y |
|
3.1 |
<xi><<y>j> |
∀<x>, ∃<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∀y, x∈y |
|
3.2 |
<xi><y>j |
∃x, ∃<y>, x∈<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∈<x> |
|
3.3 |
<xi><yj> |
De existentie van alle <x> of alle <y> ∃x, ∀<y>, x∈<y> en ook ∀<x>, ∃y, y∈<x> |
|
3.4 |
<xi>yj |
∀<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∃y, x∈y |
|
4.1 |
xi<<y>j> |
∃x, ∃<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∈y |
|
4.2 |
xi<y>j |
∀<x>, ∃<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∀y, y∈x |
|
4.3 |
xi<yj> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∃y, y∈x |
|
4.4 |
xiyj |
De existentie van een x of een y ∃x, ∀<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∃y, <x>∈y |
|
5.1 |
<<<x>i><<y>j>> |
De existentie van een <x> en een <y> ∃<x>, ∀y, <x>∉y en ook ∀x, ∃<y>, <y>∉x |
|
5.2 |
<<<x>i><y>j> |
∀x, ∀y, y∉x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
5.3 |
<<<x>i><yj>> |
∀x, ∃y, y∉x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∉<y> |
|
5.4 |
<<<x>i>yj> |
∃<x>, ∃y, <x>∉y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∉x |
|
6.1 |
<<x>i<<y>j>> |
∀x, ∀y, x∉y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
|
6.2 |
<<x>i<y>j> |
De existentie van alle x en alle y ∀x, ∃<y>, x∉<y> en ook ∃<x>, ∀y, y∉<x> |
|
6.3 |
<<x>i<yj>> |
∃<x>, ∃y, y∉<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∉<y> |
|
6.4 |
<<x>iyj> |
∀x, ∃y, x∉y en ook ∃<x>, ∀<y>, <y>∉<x> |
|
7.1 |
<<xi><<y>j>> |
∃x, ∀y, x∉y en ook ∀<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
|
7.2 |
<<xi><y>j> |
∃x, ∃<y>, x∉<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∉<x> |
|
7.3 |
<<xi><yj>> |
De existentie van een x en een y ∃x, ∀<y>, x∉<y> en ook ∀<x>, ∃y, y∉<x> |
|
7.4 |
<<xi>yj> |
∀<x>, ∀<y>, <y>∉<x> en ook ∃x, ∃y, x∉y |
|
8.1 |
<xi<<y>j>> |
∃x, ∃<y>, <y>∉x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∉y |
|
8.2 |
<xi<y>j> |
∃x, ∀y, y∉x en ook ∀<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
8.3 |
<xi<yj>> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∉<y> en ook ∃x, ∃y, y∉x |
|
8.4 |
<xiyj> |
De existentie van alle <x> en alle <y> ∀<x>, ∃y, <x>∉y en ook ∃x, ∀<y>, <y>∉x |
Met een paar voorbeelden wordt de interpretatie van de tabel duidelijk.
In de tabel wordt ∀x, ∀y, x∈y in het haakformalisme geschreven als <x>i<<y>j>. Dit is een welgevormde haakuitdrukking zonder een waarde. De klassieke interpretatie die enkel in waarheidswaarden geïnteresseerd is reduceert dit dus tot <x>i<<y>j>↔<>, en dus ook <<x>i<<y>j>>↔<<>>. Deze laatste uitdrukking kan geïnterpreteerd worden als het onmogelijk zijn van <<x>i> AND <<<y>j>>, dus het onmogelijk zijn van de conjunctie van het model <<x>i> en iets anders dan het model <<y>j>. Dit is de enige manier die bestaat in verzamelingentheorie om negatie uit te drukken, namelijk het onmogelijk zijn van een conjunctie. Zo is ook de conjunctie van xi<yj> (of ∃x, ∃y, y∈x) en <xi<yj>> (of ∃x, ∃y, y∉x) onmogelijk.
Noteer: ∃<x> betekent dat er een x gebeurt, inderdaad: er moet iets anders gebeuren om iets te ervaren. Alle x gebeuren is dan ∀<x>.
Noteer: ook de existentie kunnen we als een “indien... dan...” relatie uitdrukken die de waarde <> toegewezen kreeg. Bijvoorbeeld is xiyj of dus de existentie van een x of een y uit te drukken als <<xi>>yj en dit drukt uit: ∃x, ∀<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∃y, <x>∈y. Dit interpreteert eveneens de volledig symmetrische welgevormde haakuitdrukking xi<<yj>>. In elke groep van vier is er één existentie uitspraak die ofwel geldt over een ervaren, ofwel over een gebeuren. Dit lost daarenboven onmiddellijk de problematiek op van de existentie van iets, een “eigenschap” die enkel empirisch kan vastgesteld worden. In de tabel wordt dit duidelijk in de cellen die expliciet een logische combinatie vermelden van existentie uitspraken.
Deze tabel kunnen we herschikken zodanig dat de symmetrie veroorzaakt door de dualiteit duidelijk wordt. We onderscheiden hierin ook de pseudoduaal die geïnterpreteerd kan worden als de verschilverzameling ten opzichte van een deelverzameling (wanneer we uitdrukken dat yj een deelverzameling is van xi, dus xi<yj> geldt, dan kunnen we de verschilverzameling van yj ten opzichte van xi uitdrukken met <<xi>yj>, deze laatste uitdrukking is van het type <<z>n> en de eerste uitdrukking is van het type zn ).
|
Haakuitdrukking |
Verzameling-theoretisch equivalent |
Contraduaal |
Verzameling-theoretisch equivalent |
Duaal |
Verzameling-theoretisch equivalent |
Pseudoduaal |
Verzameling-theoretisch equivalent |
|
xiyj |
De existentie van een x of een y |
<x>i<y>j |
De existentie van een <x> of een <y> |
<<x>i<y>j> |
De existentie van alle x en alle y |
<<xi><yj>> |
De existentie van een x en een y |
|
xi<yj> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∃y, y∈x |
<x>i<<y>j> |
∀x, ∀y, x∈y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∈<x> |
<<x>i<<y>j>> |
∀x, ∀y, x∉y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
<<xi>yj> |
∀<x>, ∀<y>, <y>∉<x> en ook ∃x, ∃y, x∉y |
|
xi<y>j |
∀<x>, ∃<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∀y, y∈x |
<x>iyj |
∃<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∀x, ∃y, x∈y |
<<x>iyj> |
∀x, ∃y, x∉y en ook ∃<x>, ∀<y>, <y>∉<x> |
<<xi><<y>j>> |
∃x, ∀y, x∉y en ook ∀<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
|
xi<<y>j> |
∃x, ∃<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∈y |
<x>i<yj> |
∃<x>, ∃y, y∈<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∈<y> |
<<x>i<yj>> |
∃<x>, ∃y, y∉<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∉<y> |
<<xi><y>j> |
∃x, ∃<y>, x∉<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∉<x> |
|
<xi>yj |
∀<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∃y, x∈y |
<<x>i><y>j |
∀x, ∀y, y∈x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∈<y> |
<<<x>i><y>j> |
∀x, ∀y, y∉x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
<xi<yj>> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∉<y> en ook ∃x, ∃y, y∉x |
|
<xi><yj> |
De existentie van alle <x> of alle <y> |
<<x>i><<y>j> |
De existentie van alle x of alle y |
<<<x>i><<y>j>> |
De existentie van een <x> en een <y> |
<xiyj> |
De existentie van alle <x> en alle <y> |
|
<xi><y>j |
∃x, ∃<y>, x∈<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∈<x> |
<<x>i>yj |
∃<x>, ∃y, <x>∈y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∈x |
<<<x>i>yj> |
∃<x>, ∃y, <x>∉y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∉x |
<xi<<y>j>> |
∃x, ∃<y>, <y>∉x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∉y |
|
<xi><<y>j> |
∀<x>, ∃<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∀y, x∈y |
<<x>i><yj> |
∀x, ∃y, y∈x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∈<y> |
<<<x>i><yj>> |
∀x, ∃y, y∉x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∉<y> |
<xi<y>j> |
∃x, ∀y, y∉x en ook ∀<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
<x>iyj |
∃<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∀x, ∃y, x∈y |
xi<y>j |
∀<x>, ∃<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∀y, y∈x |
<xi<y>j> |
∃x, ∀y, y∉x en ook ∀<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
<<<x>i><yj>> |
∀x, ∃y, y∉x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∉<y> |
|
<x>i<yj> |
∃<x>, ∃y, y∈<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∈<y> |
xi<<y>j> |
∃x, ∃<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∈y |
<xi<<y>j>> |
∃x, ∃<y>, <y>∉x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∉y |
<<<x>i>yj> |
∃<x>, ∃y, <x>∉y en ook ∀x, ∀<y>, x∉<y> |
|
<x>i<y>j |
De existentie van een <x> of een <y> |
xiyj |
De existentie van een x of een y |
<xiyj> |
De existentie van alle <x> en alle <y> |
<<<x>i><<y>j>> |
De existentie van een <x> en een <y> |
|
<x>i<<y>j> |
∀x, ∀y, x∈y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∈<x> |
xi<yj> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∃y, y∈x |
<xi<yj>> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∉<y> en ook ∃x, ∃y, y∉x |
<<<x>i><y>j> |
∀x, ∀y, y∉x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
<<x>i>yj |
∃<x>, ∃y, <x>∈y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∈x |
<xi><y>j |
∃x, ∃<y>, x∈<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∈<x> |
<<xi><y>j> |
∃x, ∃<y>, x∉<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∉<x> |
<<x>i<yj>> |
∃<x>, ∃y, y∉<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∉<y> |
|
<<x>i><yj> |
∀x, ∃y, y∈x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∈<y> |
<xi><<y>j> |
∀<x>, ∃<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∀y, x∈y |
<<xi><<y>j>> |
∃x, ∀y, x∉y en ook ∀<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
<<x>iyj> |
∀x, ∃y, x∉y en ook ∃<x>, ∀<y>, <y>∉<x> |
|
<<x>i><y>j |
∀x, ∀y, y∈x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∈<y> |
<xi>yj |
∀<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∃y, x∈y |
<<xi>yj> |
∀<x>, ∀<y>, <y>∉<x> en ook ∃x, ∃y, x∉y |
<<x>i<<y>j>> |
∀x, ∀y, x∉y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
|
<<x>i><<y>j> |
De existentie van alle x of alle y |
<xi><yj> |
De existentie van alle <x> of alle <y> |
<<xi><yj>> |
De existentie van een x en een y |
<<x>i<y>j> |
De existentie van alle x en alle y |
De pseudoduaal is identiek met de duaal enkel als i=j=1. Merk op dat elke pseudoduaal de duaal is van een andere haakuitdrukking en elke duaal de pseudoduaal is van een andere uitdrukking, de tabel is dus gesloten over deze 32 elementen voor wat betreft deze unaire relaties. Elke uitdrukking wordt 2 maal vermeld in de tabel.
De mogelijke relaties deelverzameling/verschilverzameling vormen 4 tralies die in elkaar kunnen getransformeerd worden
In tabelvorm:
|
<xi<y>j> |
∃x, ∀y, y∉x en ook ∀<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
|
|
<xi<yj>> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∉<y> en ook ∃x, ∃y, y∉x |
<<<x>i><y>j> |
∀x, ∀y, y∉x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∉<y> |
|
<<<x>i><yj>> |
∀x, ∃y, y∉x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∉<y> |
<xi><<y>j> |
∀<x>, ∃<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∀y, x∈y |
|
<xi>yj |
∀<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∃x, ∃y, x∈y |
<x>i<<y>j> |
∀x, ∀y, x∈y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∈<x> |
|
<x>iyj |
∃<x>, ∀<y>, <y>∈<x> en ook ∀x, ∃y, x∈y |
|
|
In tabelvorm:
|
<<x>iyj> |
∀x, ∃y, x∉y en ook ∃<x>, ∀<y>, <y>∉<x> |
|
|
|
<<x>i<<y>j>> |
∀x, ∀y, x∉y en ook ∃<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
<<xi>yj> |
∀<x>, ∀<y>, <y>∉<x> en ook ∃x, ∃y, x∉y |
|
<<xi><<y>j>> |
∃x, ∀y, x∉y en ook ∀<x>, ∃<y>, <y>∉<x> |
<<x>i><yj> |
∀x, ∃y, y∈x en ook ∃<x>, ∀<y>, <x>∈<y> |
|
<<x>i><y>j |
∀x, ∀y, y∈x en ook ∃<x>, ∃<y>, <x>∈<y> |
xi<yj> |
∀<x>, ∀<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∃y, y∈x |
|
xi<y>j |
∀<x>, ∃<y>, <x>∈<y> en ook ∃x, ∀y, y∈x |
|
|
In tabelvorm:
|
<<x>i<y>j> |
De existentie van alle x en alle y |
|
|
|
<<x>i<yj>> |
∃<x>, ∃y, y∉<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∉<y> |
<<xi><y>j> |
∃x, ∃<y>, x∉<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∉<x> |
|
<<xi><yj>> |
De existentie van een x en een y |
<<x>i><<y>j> |
De existentie van alle x of alle y |
|
<<x>i>yj |
∃<x>, ∃y, <x>∈y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∈x |
xi<<y>j> |
∃x, ∃<y>, <y>∈x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∈y |
|
xiyj |
De existentie van een x of een y. |
|
|
In tabelvorm:
|
<xiyj> |
De existentie van alle <x> en alle <y> |
|
|
|
<xi<<y>j>> |
∃x, ∃<y>, <y>∉x en ook ∀<x>, ∀y, <x>∉y |
<<<x>i>yj> |
∃<x>, ∃y, <x>∉y en ook ∀x, ∀<y>, <y>∉x |
|
<<<x>i><<y>j>> |
De existentie van een <x> en een <y> |
<xi><yj> |
De existentie van alle <x> of alle <y> |
|
<xi><y>j |
∃x, ∃<y>, x∈<y> en ook ∀<x>, ∀y, y∈<x> |
<x>i<yj> |
∃<x>, ∃y, y∈<x> en ook ∀x, ∀<y>, x∈<y> |
|
<x>i<y>j |
De existentie van een <x> of een <y> |
|
|
Elke tralie is gesloten voor zowel conjunctie als disjunctie, echter niet voor de exclusieve disjunctie, we berekenen bijvoorbeeld <xi<<y>j>> XOR <<<x>i>yj>
<<xi<<y>j>><<x>i>yj><xi<<y>j><<<x>i>yj>>
<<xi><<x>i>yj><xi<<y>j><yj>> en dit is niet verder te reduceren tot een punt van de tralie.
QED
De tralie van acht welgevormde haakuitdrukkingen die een verzameling/deelverzameling uitdrukken is gesloten voor de vorming van het pseudoduaal. Hierbij een voorbeeld waarbij de punten van een van de vier tralies weergeven, het punt in de eerste kolom is het pseudoduaal van het punt in de tweede kolom en ze zijn supremum en infimum van een tralie van vier elementen:
|
Supremum |
Infimum |
|
<xi<y>j> |
<xi><<y>j> |
|
<xi<yj>> |
<xi>yj |
|
<<<x>i><yj>> |
<x>iyj |
|
<<<x>i><y>j> |
<x>i<<y>j> |
QED
Aangezien de uitgedrukte relaties enkel conjunctie en disjunctie zijn, zijn de tralies van vier elementen als Venn diagram voor te stellen.