We poneren een welgevormde uitdrukking die de karakteristieken vertoont die verwacht worden voor een begrip als “verschilverzameling”.

Verschilverzameling

Wanneer we uitdrukken dat b_j een deelverzameling is van a_i, dus a_i<b_j> geldt (dus: als b_j ervaren is dan moet a_i ervaren zijn), dan kunnen we de verschilverzameling van b_j ten opzichte van a_i uitdrukken met <<a_i>b_j>, waarbij duidelijk is dat hieraan voldaan is met minstens een a_i ↔ <> en alle b_j ↔ <<>> (als a_i ervaren is dan moet b_j gebeuren).

We bewijzen nu twee eigenschappen van de verschilverzameling:

1. Een punt van de verschilverzameling <<a_i>b_j> is element van de superverzameling a_i. Dus een punt x waarvoor geldt dat <x><<a_i>b_j>, daarvoor geldt ook dat <x>a_i.

2. Een punt van de verschilverzameling <<a_i>b_j> sluit elk punt van de deelverzameling b_j uit. Dus een punt x waarvoor geldt dat <x><<a_i>b_j>, en een punt y waarvoor geldt dat <y>b_j, daarvoor geldt dat hun conjunctie altijd de waarde <<>> heeft (dus dat <<x><y>>↔ <<>>).

Bewijs van de eerste eigenschap: we tonen aan dat de implicatie van <x><<a_i>b_j> en <x>a_i altijd de waarde <> heeft.

<<x><<a_i>b_j>><x>a_i

<<<a_i>b_j>><x>a_i

<a_i>b_j<x>a_i

<>

QED

Bewijs van de tweede eigenschap

Neem x waarvoor <x><<a_i>b_j> geldt, dan is x niet te onderscheiden van xAND<<a_i>b_j> of dus in welgevormde haakuitdrukking: <<x><a_i>b_j>

Neem y waarvoor <y>b_j geldt, dan is ook y niet te onderscheiden van yANDb_j of dus in welgevormde haakuitdrukking <<y><b_j>>

In de uitdrukking <<x><y>> waarvan we de waarde willen bepalen voeren we nu de volgende transformaties uit: x↔<<x><a_i>b_j> en y↔<<y><b_j>>

Dus is <<x><y>> gelijk aan <<<<x><a_i>b_j>><<<y><b_j>>>>

<<x><a_i>b_j<y><b_j>>

<<x><a_i><y><>>

<<>>

QED

Besluit

Terwijl het begrip “verzameling” (of “element van”) geen bijkomende veronderstelling vereist om gemodelleerd te kunnen worden in het haakformalisme, omdat het de relatie beschrijft van één punt ten opzichte van een geheel, stelt het begrip “deelverzameling” wel bijkomende eisen om gemodelleerd te kunnen worden, namelijk: slechts wanneer het supremum van verzameling a_i (en dus één punt) fijner is dan het infimum van verzameling b_j dan kunnen we zeggen dat verzameling b_j een deelverzameling is van a_i. Die zelfde veronderstelling ligt dus aan de basis van het definiëren van een verschilverzameling: wanneer b_j een deelverzameling is van a_i, dan kunnen we de verschilverzameling van b_j ten opzichte van a_i uitdrukken met <<a_i>b_j>. Deze verschilverzameling is dus één supremum dat het infimum van b_j uitsluit, simultaan het supremum van a_i uitsluit (als we een supremum zouden willen veronderstellen, ontdekken, creëren, ...), maar niet het infimum van a_i uitsluit want de verschilverzameling <<a_i>b_j> impliceert dit infimum. De verschilverzameling <<a_i>b_j> kan dus gezien worden als een supremum dat moet gecreëerd worden.

Deze voorwaarde leidt er toe om een nieuw begrip te definiëren: a_i<b_j> en <<a_i>b_j> zijn elkaars pseudoduaal. Een pseudoduaal kan klassiek gezien als een verschilverzameling geïnterpreteerd worden, als een soort complement dat twee verzamelingen sluit voor wat betreft de conjunctie van hun elementen. Punten die elkaars pseudoduaal zijn, zijn elkaars infimum en supremum.

Bewijs:

Er geldt dat a_i<b_j> AND <<a_i>b_j>, dus <<a_i<b_j>><a_i>b_j> niet kan onderscheiden worden van <<a_i>b_j>, dit is dus een supremum.

Er geldt dat a_i<b_j> OR <<a_i>b_j>, dus a_i<b_j><<a_i>b_j> niet kan onderscheiden worden van a_i<b_j>, dit is dus een infimum.

QED