De modulo4 benadering van het haakformalisme maakt het mogelijk om ook getallen als eenheden of entiteiten te gebruiken die een intensiteit (getal) kunnen hebben. Hierbij hebben we aangetoond dat de priemgetallen de soorten getallen zijn. We hebben dan ook de structuur van de priemgetallen gemodelleerd.

We zullen nu aantonen dat we niet alleen structuur kunnen modelleren door alleen maar getallen te gebruiken maar ook dynamiek, dus processen. Hiertoe moeten we toestanden veronderstellen en moeten we verschillen van toestanden berekenen.

Congruentieklassen, toestanden en dynamiek

De drie-structuur van de hele getallen hebben we voorgesteld door de volgende tralie:

De congruentie klassen spelen de rol van toestanden in een gecollapste tralie met twee onderscheidingen. Dat volgt duidelijk uit de volgende tabellen die de relaties tussen a, b en c expliciteren:

Toestanden die elkaar uitsluiten

Met deze toestanden kunnen we verschillen berekenen in twee generaties en die verschillen modelleren dynamiek.

Het is duidelijk dat er maar één mogelijkheid is in generatie 2 en dat is een vectorsom van de drie verschillende congruentie klassen. Als we hierbij <> tellen, dus een willekeurig algemeen getal (P1)(P2)(P3) dan bekomen we de welgevormde haakuitdrukking <>⊕<a•b>⊕<b•c>⊕<a•c>. Dus indien dat willekeurig getal ook bij generatie 0 zou opgeteld worden dan verandert niets aan de tabel.

Met verschillen kunnen we altijd een evenwicht modelleren in de dynamiek: de som van de drie elementen in elke generatie is nul. We kunnen daarom de voorwaarden onderzoeken waaronder een dynamisch proces met gehele getallen een evenwicht zal bereiken.

Voor de tweede generatie is dit altijd zo. Inderdaad: we merken op dat er geldt dat (P3)⊕(P1)=(R2) en dus wordt (P1)⊕(P2)⊕(P3)=(R2)⊕(P2)=0 modulo4

Voor de eerste generatie moeten we een voorwaarde invoeren. Inderdaad: met (P3)⊕(P1)=(R2) wordt (R2)⊕(P3)⊕(R2)⊕(P2)⊕(R3)⊕(P1)=(R2)⊕(R2)⊕(R2)⊕(P2)⊕(R3)=(R3). De voorwaarde zullen we verder onderzoeken.

Toestanden die elkaar insluiten

Met deze toestanden kunnen we verschillen berekenen in twee generaties en die verschillen modelleren dynamiek.

Het is duidelijk dat er maar één mogelijkheid is in generatie 2 en dat is (R3). Aangezien (P3)⊕(P1)=(R2) geldt voor de som van de toestanden in generatie 1: (P1)⊕(R2)⊕(P3)⊕(R3)⊕(P2)⊕(R2)=(R2)⊕(R2)⊕(R3)⊕(P2)⊕(R2)=(R3).

Voorwaarde (R3) voor evenwicht: het Collatz proces

In alle gevallen is de voorwaarde voor een proces met enkel getallen, proces dat een evenwicht kan bereiken, een voorwaarde voor een getal (R3). Dit is een getal congruent -1 modulo4. Als dit gelijk is aan een viertal dan wordt evenwicht bereikt. Dat kunnen we verwezenlijken als 1 opgeteld wordt bij (R3). Noteer dat (R3)=(P1)(P3). Dus (R3) is een oneven getal en hierbij 1 optellen genereert een (R2).

Dus om een proces te maken dat evenwicht kan bereiken moeten we ervoor zorgen dat bij elke volgende toestand (een volgend getal) een oneven getal gegenereerd wordt waar we dan 1 kunnen bij optellen. Dit evenwicht zal niet veranderen als bij de drie toestanden dezelfde toestand opgeteld wordt. Dit betekent dus dat we van gelijk welk getal kunnen vertrekken en de dynamiek enkel door drie klassen van priemgetallen (namelijk P(1), P(2) en P(3)), of door twee klassen van producten van priemgetallen (namelijk (R2) en R(3)) bepaald wordt.

Dit is gekend in de klassieke literatuur maar noch het bewijs, noch de ontkenning ervan, is (“peer reviewed”) al geleverd: het is de procedure van het Collatz proces. Het Collatz proces (het vermoeden van Collatz) is immers als volgt:

Kies een geheel getal n>0 en definieer daarmee een iteratie die een rij oplevert (a_i) als volgt:

a₀=n

a_i+1=½a_i als a_i even is

a_i+1=3a_i+1 als a_i oneven is

Het vermoeden van Collatz is dan dat er voor elke keuze van a₀ een geheel getal N kan gevonden worden met a_N=1.

Een voorbeeld:

Neem a₀=12 dan wordt de rij (12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1) en N=9.

Noteer: als de rij verder gezet wordt dan ontstaat de repetitieve loop (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …). Dit maakt duidelijk dat hiermee een proces evenwicht bereikt is.

Bespreking

Bij de toestanden die elkaar insluiten ontbreekt de congruentieklasse (R1).

Stel daarom dat een a_i uit het Collatz proces een (R1) is, dan is 3a_i+1 congruent 0 en dus deelbaar door 4. Na die deling is het getal dat we bekomen gelijk aan (3a_i+1)/4 en dit is onvermijdelijk kleiner dan a_i wanneer a_i>1. Eens dat a_i kleiner is dan a₀, wordt hoe dan ook een einde bereikt aan de iteratie. Want als dat zo is, dan zal er voor die a_i ook een getal j kunnen gevonden worden waarbij a_j<a_i. Uiteindelijk kan het niet anders dan dat we uitkomen bij 1.