De kracht van aantrekking of afstoting hebben we geconstrueerd vanuit een versnelling.
De versnelling is een som van twee componenten, een afhankelijk van de Lorentz invariant m en een niet afhankelijk van m. De component die niet afhankelijk is van m is gelijk aan nul onder de voorwaarde n0n2=n12 en dit kunnen we modelleren met het introduceren van de constante verhouding k. We veronderstellen dat er geldt dat n0=n1k en n2=n1/k. Dus n0/n1=k en n1/n2=k. Dan is de versnelling nul voor de component die niet afhankelijk is van m, er is geen kracht die door die component gegenereerd wordt en zoals we gezien hebben komt dit overeen met een spontane evolutie met een vaste eigenwaarde. Een spontane evolutie “oefent geen kracht uit”, “levert noch kost energie” ondanks het gegeven dat er een schaalfactor is die als constante snelheid kan geïnterpreteerd worden. Inderdaad opeenvolgende schaalfactoren zijn gelijk, bijvoorbeeld v01=(n0-n1)/(n0+n1)=(n1k-n1)/(n1k+n1)=(k-1)/(k+1) en v12=(n1-n2)/(n1+n2)=(n1-n1/k)/(n1+n1/k)=(k-1)/(k+1) maar dit geldt niet voor de andere schaalfactor, bijvoorbeeld: v02=(n0-n2)/(n0+n2)=(n1k-n1/k)/(n1k+n1/k)=(k2-1)/(k2+1).
De schaalfactoren inclusief de vaste referentie (de Lorentz invariant) zijn dan v01+m=(n1k-n1)/(2m+n1k+n1); v12+m=(n1-n1/k)/(2m+n1+n1/k); v02+m=(n1k-n1/k)/(2m+n1k+n1/k).
Die spontane evolutie kunnen we interpreteren zowel als positieve feedback, maar ook als negatieve feedback, afhankelijk van de waarde van k. Als we enkel verhoudingen beschouwen dan is er enkel sprake van negatieve feedback en dat kunnen we interpreteren als een toename van entropie.
De component van de totale versnelling die afhankelijk is van m is de enige die nog overblijft van de verhouding, en dit is 2m(n0-2n1+n2)/(2m+n0+n1)2(2m+n1+n2)2. Aangezien we veronderstellen dat n0=n1k en n2=n1/k, kunnen we deze verhouding dan uitdrukken enkel als functie van n1 en dit geeft:
2m(n0-2n1+n2)/(2m+n0+n1)2(2m+n1+n2)2
2m(n1k-2n1+n1/k)/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2
2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2
Als we nu kiezen voor 2m+n1=0 dan heeft deze versnelling maar één variabele meer, namelijk n1 (of -1/2m) en daarmee modelleren we een stap na stap veranderende referentie. Inderdaad: in de opeenvolgende intensiteiten n0, n1, n2, n3, … bevindt n1 zich met schaalfactor k tussen n0 en n2, bevindt n2 zich met schaalfactor k tussen n1 en n3, enz...
We kiezen nu voor n1 en stellen dus 2m=-n1
-n12(k-2+1/k)/n12k2n12/k2
-(√k-1/√k)2/n12
Het resultaat is dus een negatief kwadraat, iets waarvoor we conventioneel √-1 nodig hebben. Een negatief kwadraat bekomen we ook als we kiezen voor n1=-2m:
-4m2(√k-1/√k)2/(-2mk)2(-2m/k)2
-4m2(√k-1/√k)2/4m2k24m2/k2
-(√k-1/√k)2/4m2
Deze versnelling is omgekeerd evenredig met het kwadraat van “een afstand” die zowel een ruimteafstand of tijdafstand kan zijn (met referentiepunt 0 vormen we zowel (0-m) als (0+m) en het kwadraat van deze intensiteit is altijd positief). We hebben de vrije keuze: -m of +m. Deze “of” is duidelijk een disjunctie en niet een exclusieve disjunctie, wat we herkennen in de interpretatie van een kwadraat van +1 of -1, de vierkantswortel van m2 is positief of negatief, er moet hiervoor geen beslissing genomen worden). De parameter m of n1 is een afstand (ruimteafstand of tijdafstand of afstand in een tralie) ten opzichte van een nul. Nul moeten we operationeel interpreteren als waarneembaar willekeurig klein en daarenboven onwaarneembaar nog kleiner.
We hebben maar één stap bestudeerd, namelijk van n0 over n1 naar n2. Die stap wordt volledig bepaald door k en toch kunnen we de intensiteit van de versnelling veranderen door een keuze van m, een intensiteit ten opzichte van een willekeurig gekozen nulpunt als begrenzing van de waarnemingsresolutie. De versnelling is ook nul voor k=1 en dan volgt uit de veronderstellingen dat alle ni dezelfde waarde hebben en alle schaalfactoren, inclusief de lokale, dan nul zijn.
We kunnen voor de keuze 2m=-n1 ook een energie berekenen.
De simultaneïteitsafstand die berekenbaar is tussen de toename of afname van twee snelheden v01 en v12 halen we uit de gemiddelde snelheid ½(v01+m+v12+m)= ½(n0-n1)/(2m+n0+n1)+ ½(n1-n2)/(2m+n1+n2)= ½((2m+n1+n2)(n0-n1)+(2m+n0+n1)(n1-n2))/(2m+n0+n1)(2m+n1+n2) waarbij de teller de afstand geeft. Deze is ½(2m+n1+n2)(n0-n1)+ ½(2m+n0+n1)(n1-n2))=½(n0-n2)(2m+2n1)=(n0-n2)(m+n1).
Als we nu terug kiezen voor 2m+n1=0 en dus 2m=-n1 wordt de afstand ½(n0-n2)n1 en met n0=n1k en n2=n1/k is de afstand ½n12(k-1/k) en de veranderingsenergie is dan -½(√k-1/√k)2(k-1/k) of -½(k-1)2(k2-1)/k2 en dus constant en volledig bepaald door de intensiteit van k.
Deze verhouding blijkt geschreven te kunnen worden als de symmetrisch ogende som (k-½k2)+(k-1-½k-2). Met n0=n1k en n2=n1/k kan dat natuurlijk ook nog in verhoudingen met enkel ni uitgedrukt worden (n0/n1-½n02/n12)+(n2/n1-½n22/n12). Het spontaan proces met een eigenwaarde k laat zich dus ook karakteriseren door een energie die constant is en een som is van vier constante verhoudingen.
We merken op dat de afstand nul wordt voor m=-n1. Dan is er wel een versnelling maar geen energie. Inderdaad: als we in 2mn1(√k-1/√k)2/(2m+n1k+n1)2(2m+n1+n1/k)2 kiezen voor m=-n1 dan heeft deze versnelling maar één variabele meer, namelijk n1 (of -m) en daarmee modelleren we terug een stap na stap veranderende referentie.
-2n12(√k-1/√k)2/(n1k-n1)2((n1/k)-n1)2
-2(√k-1/√k)2/n12(k-1)2((1/k)-1)2
(-2(k-1)2/k)(k2/n12(k-1)2(k-1)2
-2k/n12(k-1)2
Deze versnelling is dus ook omgekeerd evenredig met een kwadraat.
Spontane evolutie kunnen we modelleren met het introduceren van de constante verhouding k. We veronderstellen dat er geldt dat n0=n1k en n2=n1/k. Dit modelleert dan een spontane evolutie met versnelling gelijk aan nul in het geval we m=0 kiezen. Als we m een andere waarde geven dan kunnen we een proces modelleren waarbij de referentie voortdurend verandert en de versnelling (de kracht) voor elke m omgekeerd evenredig is met m2. Dit geval is een abstractie die het patroon van spontane verandering voorstelt zonder dat het ruimte/tijd onderscheid expliciet moet gemaakt worden. De “vrije val” en de elektrische aantrekking/afstoting wordt als een spontaan proces beschouwd in de ruimte/tijd.