We hebben een golf kunnen modelleren enkel uitgaande van getallen, intensiteiten van iets. We hebben dit heel uitgebreid en gedetailleerd gedaan om zoveel mogelijk a priori te vermijden en enkel te vertrekken van onvermijdelijk elkaar uitsluitende stappen.

“Elkaar uitsluiten” maakt het mogelijk om te tellen en tellen is geordend als de gehele getallen. Deze ordening hebben we “stappen” genoemd. Het is noodzakelijk om een stap te zetten voor de volgende kan gezet worden en elke stap is voldoende om te besluiten dat er een voorgaande stap moet gezet geweest zijn. Om een golf te modelleren hebben we nog een tweede telling nodig, eigenlijk een bijkomend onderscheid dat gegeneerd kan worden als de stappen sporen achterlaten: we tellen het aantal stappen waarbij dit onderscheid “iets” is en niet verandert, en we tellen het aantal stappen waarbij dit onderscheid “iets anders” is en niet verandert. We tellen dus een verschil vanaf een waargenomen referentie van verandering (waarneembaar als spoor), onvermijdelijk verbonden met onze waarnemingsresolutie. Onze inherente beperking uit zich in de volgende mogelijke waarneming: bij elke stap nemen we verandering waar; wanneer we 2n stappen zetten, dan zijn er n stappen waarbij “iets” waargenomen wordt en n waarbij er “iets anders” waargenomen wordt en ze wisselen elkaar af. Meer primitief kunnen we niet (er moet wel een n zijn, n kan enkel gebeuren en kunnen we enkel maar aanvaarden), minder primitief kunnen we wel. Er is een onvermijdelijke grens aan de zekerheid van “ja” versus “neen”. “Tussen” “ja” en “neen” is er alleen een hypothese mogelijk want we kunnen “tussen” de meest primitieve stappen geen stappen zetten, dat is trouwens een tautologie. Dit meest primitieve noemen we een patroon en dit is niet anders dan een meest primitieve golf: de sprong bij elke stap, ofwel van “ja” naar “neen” ofwel van “neen” naar “ja”. We moeten minstens één onderscheid maken, maar we kunnen meerdere onderscheiden maken en er is onvermijdelijk een “laatst toegevoegde onderscheiding”. Dit maakt het mogelijk om te veronderstellen dat de a priori onbekende n altijd toeneemt.

Als we zo één patroon beschouwen dan zien we ook in dat het patroon hetzelfde is als het over een of meerdere stappen verschoven wordt (dat noemen we dus “een patroon” en de uitspraak is weer een tautologie). Het verschil van stappen is dus iets dat waarneembaar is, is te tellen, met een ondergrens voor het meest primitieve patroon. Het meest primitieve patroon is, over twee stappen verschoven, hetzelfde patroon. Minder primitieve patronen kunnen gemaakt worden die hetzelfde zijn als ze verschoven worden over meer stappen. Zo’n patronen zijn als samengestelde golven te modelleren.

Wanneer we in staat zijn om een “ja” als spoor te markeren (bijvoorbeeld in een geheugen enz…) kunnen we nu spreken van een nieuwe kwantiteit: “een intensiteit van ja” wanneer we de sporen gaan optellen en zo kunnen we de interactie van verschillende patronen kwantificeren. Dit kan ook “niets” genereren ondanks het feit dat het proces van tellen altijd doorgaat. Bijvoorbeeld: het sommeren van (elkaar uitsluitende) twee meest primitieve patronen die interageren, over één stap verschoven, zorgt ervoor dat het gemaakte onderscheid “ja versus neen” verloren gaat.

Sommige onderscheidingen (“ja versus neen”) veranderen slechts om de zoveel stappen. Dit is kwantificeerbaar doordat we een verschil van stappen kunnen onderscheiden en tellen dank zij de sporen die ze nalaten. Een verschil van stappen, gegeven een aantal stappen, is dus waarneembaar en dat noemen we een golflengte. Een golflengte (een verschil) wordt afgeleid van een aantal stappen waarbij een gekozen (en herkend) patroon herhaald wordt. Een golflengte is, ondanks zijn connotatie met een lengte, meer abstract dan “lengte”. De meest primitieve golflengte moeten we aanvaarden, de meest primitieve golflengte kunnen we niet kiezen en kan enkel gebeuren. Dat is de kleinst haalbare golflengte. Een grotere golflengte kunnen we kiezen (is waarneembaar als een verschil tussen een a priori onbekend aantal (n) stappen). Dat doen we om waar te nemen of een patroon met die gekozen golflengte herhaald wordt. Bij interactie maakt de gekozen golflengte het dus mogelijk dat we iets “tussen twee stappen” op een bepaalde “intensiteit van ja” kunnen waarnemen.

De kleinst haalbare golflengte, dus de golflengte die enkel kan gebeuren, is te kwantificeren door te onderzoeken hoe we π zouden kunnen benaderen door onze keuze van resolutie van een reëel getal. Immers π is evenmin een te kiezen getal. We hebben dat kunnen modelleren door twee alternatieven f₁ en f₂ voor π te veronderstellen want voor een som van die twee factoren, overeenkomstig cos(πn+πn)=cos(2πn)=1, moet gelden dat cosn(f₁+f₂)=1 en, overeenkomstig cos(πn-πn)=cos(0)=1, moet ook cosn(f₁-f₂)=1 gelden. Dank zij de functie cosinus (of sinus) kunnen we dus uitdrukken “dat de factoren alternatieven zijn voor π” gegeven de maximaal haalbare waarnemingsresolutie. Die resolutie bepaalt dus de onvermijdelijke stappen en dus ook de onvermijdelijke golflengte (het stappenverschil). We moeten dit goed begrijpen: π is gewoon een getal en elk getal kan input zijn voor een goniometrische functie. Het specifieke aan π is dat het een interpretatie mogelijk maakt in de geometrie van een cirkel modulo 2π.

Nu hebben we de abstractie bereikt die ons toelaat om de algemene vergelijking van een golf “die zich in de tijd t voortbeweegt in de ruimte en in de richting van de positieve x-as” te interpreteren. Deze vergelijking is: Acos(2πtf-2πx/λ+φ) met A de amplitude, λ de golflengte, f de frequentie en φ de fase. De fasesnelheid wordt gegeven door λf of ω/k met ω=2πf en k=2π/λ. Elke stap in de tijd komt overeen met een stap op de x-as, dat zijn dus de stappen die we als n gesymboliseerd hebben en de relatie is de fasesnelheid. We herkennen dit nu als de vergelijking die maximale zekerheid uitdrukt met twee verschillende factoren die de “n-as” verschalen en onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd moeten zijn (zoals f₁ en f₂): f₁=tf (en die schaal, zonder dimensie, een eerste eenheid verbinden we met een punt n) en f₂=x/λ (en die schaal, zonder dimensie, een tweede eenheid, verbinden we met een verschil tussen twee punten n).

We kunnen dit ook als volgt begrijpen. Elke hoek kan als een som van twee hoeken gemodelleerd worden, typisch een (x-vt) en om daar een hoek van te maken moet dat als radialen bekeken worden, dus (x-vt) geeft de intensiteit van een fractie van 2π, namelijk 2π/λ, deze wordt het cirkelgolfgetal genoemd (dimensie m^-1). Dit levert cos(2π(x-vt)/λ). De grens van het model is voor een v zodanig dat vt=x, dan is de cosinus altijd 1. Dus geen onzekerheid. Is v afwijkend, dan is cosinus verschillend van 1.

Golfvergelijking en groepsnelheid

Bij superpositie ontstaat een groepsnelheid ω_g en een nieuwe fasesnelheid ω_f, zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Voortplantingssnelheid

De superpositie van cos(ω₁t-k₁x) en cos(ω₂t-k₂x) wordt gegeven door:

cos(ω₁t-k₁x)+cos(ω₂t-k₂x)=2cos(ω_ft-k_fx)cos(ω_gt-k_gx) en waarbij

ω_f=1/2(ω₁+ω₂) en ω_g=1/2(ω₁-ω₂)

k_f=1/2(k₁+k₂) en k_g=1/2(k₁-k₂)

De vorm hiervan maakt duidelijk dat die uitdrukkingen kunnen genormaliseerd worden met (ω₁²-ω₂²) en (k₁²-k₂²) respectievelijk om ervoor te kunnen zorgen dat (ω₁+ω₂)*(ω₁-ω₂)=1 zodanig dat ω_f*ω_g een bepaalde verhouding kan hebben, en analoog voor (k₁+k₂)*(k₁-k₂)=1 en k_f*k_g zodanig dat dit ook geldt voor ω_f*ω_g/ k_f*k_g.

Superpositie van twee golven leidt tot een emergent verschijnsel: de groepsnelheid.

Vermoedelijk wordt de codering gevormd door het verschil van fasesnelheid en groepsnelheid van de superpositie van twee golven met verdubbelde snelheid λf of dus ω_f/k_f is het dubbel van ω_g/k_g. Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity Frequency dispersion in groups of gravity waves on the ocean surface over deep water. The red dot moves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The red dot overtakes three green dots when moving from the left to the right of the figure.

Dit kan overeenkomen in het haakformalisme in een twee onderscheidingen universum met een laatst toegevoegde onderscheiding, gegeven door 1/2 (bijvoorbeeld 1 hoogbit voor twee laagbits) zoals in bijvoorbeeld <<0100100100100>>. De sensor laagbit vuurt drie maal, de sensor hoogbit vuurt eenmaal maar simultaan met slechts één laagbit, dan heffen ze elkaar op en krijgen we eigenlijk <<0x00x00x00x00>>. Dit kan natuurlijk ook in vier bits voorgesteld worden waarbij opvalt dat twee van de “atomen” niet uit elkaar gehouden kunnen worden tenzij door een faseverschuiving (zoals <<01110111>> en <<10111011>>>), en het derde “atoom” een eigen patroon volgt (zoals <<11001100>>).

De drie bits kunnen afgebeeld worden op de volgende tralie met b een niet ingebouwde laatst toegevoegde onderscheiding: