Er is een overweldigende hoeveelheid materiaal te vinden over de Fibonacci rij. Boeiend is dat er enorm veel patronen al gevonden zijn in die rij en dat elk gehele getal als een factor van een getal in de Fibonacci rij voorkomt.

We zullen nu nog een interpretatie bijvoegen. We interpreteren de rij vanuit zijn algemeen patroon met twee vrij te kiezen gehele getallen m en n (met m<n) en het viertal getallen (n-m, m, n, n+m). Dit is een viertal dat kan gevonden worden bij gelijk welke keuze van twee opeenvolgende getallen in de klassieke rij van Fibonacci. De klassieke rij van Fibonacci begint met n-m=1 en m=1. Strikt gezien zou de rij kunnen beginnen met 0, en dat wordt dan ook gedaan, zodanig dat zowel n=1 als m=1 voor het eerste viertal (0, 1, 1, 2), het volgende viertal is dan (1, 1, 2, 3). We beschouwen de klassieke Fibonacci rij dan als de modellering van een proces waarbij een som gemaakt wordt bij elke stap, maar evenzeer kunnen we de klassieke Fibonacci rij dan beschouwen als de modellering van een proces waarbij een verschil gemaakt wordt bij elke stap.

Dit op zichzelf is al een belangrijk gegeven omdat de procedure een proces kan modelleren met een strikte orde: enkel toename in de ene zin (het getal rechts van een gekozen positie is groter) en een afname in de andere zin (het getal links van een gekozen positie is kleiner). Maar dat maakt het ook interessant om te onderzoeken of we “voorbij de nul” geraken. Dit is dan een uitbreiding met negatieve getallen en de rij strekt zich dan onbeperkt uit zowel naar links als naar rechts. Als we dit nu effectief uitvoeren, dan blijkt dat er iets verrassends gebeurt: enkel in absolute waarde klopt deze uitspraak, want in negatieve zin volgt een oscillatie, en dan blijkt het essentieel dat we de nul in de rij betrekken, immers voor geen enkel andere keuze van een getal als startpunt blijkt hetzelfde patroon op te treden.

Dit is de soort rijen die we nu zullen bestuderen op een manier die volledig kan kaderen in de bekende patronen van het haakformalisme en we doen dat heel precies en geleidelijk.

De elementen van het viertal geven we nu de naam F(i) en dus kunnen we elk element van het viertal op verschillende manieren in functie van de drie andere elementen voorstellen. De klassieke voorstelling is: “elk element is de som van de twee voorgaande” en dus is F(i)=F(i-2)+F(i-1). We wijzen er nu op dat dit niet anders is dan F(i-2)=F(i)-F(i-1) of F(i-1)=F(i)-F(i-2). De klassieke voorstelling is dus een disjunctie van drie manieren om de rij te benaderen. We kunnen nog andere manieren vinden, namelijk: noem (i-2) nu j dan vinden we: F(j)= F(j+2)-F(j+1) enz.... In sommige voorstellingen treden dus wel negaties op, maar het proces blijft een som-proces. Belangrijk voor wat we eenduidig willen onderzoeken is dat we ons dus houden aan de stap in het proces. Dus: we kiezen ooit eens beginwaarden en dan voeren we een proces uit waarin we de stappen niet opnieuw coderen (bijvoorbeeld door gebruik te maken van een nieuw symbool voor een andere variabele). Dus kies een startpunt en een eerste stap en noem waar je uitkomt F(i) en niet iets anders. Daarenboven maakt men klassiek gezien de keuze voor 0 en 1 als beginwaarden. Wat men klassiek niet doet is kiezen voor 0 en -1 als beginwaarden, toch levert dit eveneens een Fibonacci-achtige rij op zoals we verder zullen aantonen.

Ook nog een andere manier is mogelijk om de rij te benaderen op een Fibonacci-achtige manier. Men kan ook uitgaan van “elk element is het verschil van de twee voorgaande” en dus is F(i)=F(i-2)-F(i-1). Dat is dan niet anders dan F(i-2)=F(i)+F(i-1) of F(i-1)=F(i)+F(i-2). Ook deze voorstelling is dus een disjunctie van drie manieren om de rij te benaderen. In twee voorstellingen treden wel sommen op, maar het proces blijft een verschil-proces. We kunnen ook hier twee keuzen maken: ofwel kiezen we voor 0 en 1 als beginwaarden, ofwel kiezen we voor 0 en -1 als beginwaarden.

Dit maakt heel duidelijk dat we beide voorstellingen moeten onderscheiden: dus we kiezen een startpunt en een eerste stap en noemen waar we uitkomen F(i) en niet iets anders. We kunnen dan kiezen voor een stapkeuze (+1) ofwel een stapkeuze (-1).

In totaal genereren we dus vier rijen zoals duidelijk wordt in de tabel. Om de tabel op te stellen is het dus essentieel om een keuze te maken voor F(i), de code in de kolomkoppen. De vier manieren die in de rijen gecodeerd zijn genereren dus dezelfde absolute waarde van F(i) bij de startkeuze voor 0 en ofwel de stapkeuze 1, ofwel de stapkeuze (-1).

Het patroon herkennen we natuurlijk.

Op de eerste plaats valt op dat elke F(i) als een dubbelgetal geschreven wordt. Zowel het som-proces als het verschil-proces start van hetzelfde getal F(i-2) en het proces wordt gecodeerd door het teken van het tweede getal.

Als we de eerste rij (kr) noemen (klassieke rij van links naar rechts), dan noemen we de tweede rij (ir) (inverse rij, elk element van (kr) wordt geïnverteerd), de derde rij (cr) (contraduale rij, de rij van rechts naar links) en de vierde rij (dr) (duale rij, de rij van rechts naar links met geïnverteerde elementen).

In absolute waarde vinden we dus bij deze vier mogelijkheden dezelfde waarde terug. Dit is op zijn minst merkwaardig. Als we de algemene situatie immers bekijken met de rij viertallen (n-m, m, n, n+m) waarin m en n niet gelijk zijn aan 1 dan treedt deze symmetrie niet op. We kiezen een F(0) en een F(1)

Wanneer we m en n als relatief priem kiezen (minimaal dus n=2 en m=1) dan kan dit een relatie leggen met tralies die met relatief priem getallen opgebouwd worden en kan leiden tot verder onderzoek. We kunnen onderzoeken onder welke voorwaarden de sommen ook relatief priem blijven en we herkennen de Fibonacci getallen en verschillende symmetrieën in de dubbelgetallen.

Een Fibonacci proces

Een Fibonacci rij hebben we beschouwd als de sporen die achtergelaten worden in een Fibonacci proces en we hebben een som-proces onderscheiden van een verschil-proces. We merken nu dat we ook met een proces dat getallen genereert een afbeelding kunnen bekomen op een welgevormde haakuitdrukking: we nemen de verhouding van elke rij tot de klassieke rij en krijgen de volgende resultaten:

Indien we als referentie een andere rij hadden gekozen zou hetzelfde patroon verschijnen.

We merken dat de verhouding van een verschil-proces tot een som-proces leidt tot een oscillatie die we kunnen interpreteren als een onderscheiding. Het nulpunt is een bijzonder punt waar een reflectie gebeurt van hetzelfde patroon in beide zinnen.

Het is duidelijk dat we de verhouding niet wijzigen door een verschaling van de beginwaarden (een intensiteit geven aan het koppel (0, 1) en (0,-1)).

Maar nu wordt ook duidelijk dat de som van processen nul kan genereren, bijvoorbeeld (kr)/(kr)+(ir)/(kr)=0 voor elke stap en (cr)/(kr)+(dr)/(kr)=0 voor elke stap. Voornamelijk de verhouding van een verschilproces tot een somproces is belangrijk omdat we met verschillen altijd een complexer evenwicht kunnen simuleren. Neem bijvoorbeeld drie getallen: x, y en z en vorm drie verschillen x-y, y-z, z-x. Er geldt dan dat (x-y)+(y-z)+(z-x)=0. Een som (x-y)/(x+y)+(y-z)(y+z)+(z-x)/(z+x)=0 zal bijkomende veronderstellingen introduceren die we verder kunnen onderzoeken.