Gelijkwaardigheid hebben we geïllustreerd aan de hand van de volgende deeltralie van een drie onderscheidingen universum:

De tralie documenteert de relaties van simultaneïteit die kunnen onderscheiden worden tussen de gekozen welgevormde haakuitdrukkingen. We hebben de meest eenvoudige gelijkwaardigheid al gekwantificeerd in een één onderscheiding universum. Die relaties kunnen we nu nog preciezer kwantificeren als verhoudingen (hoeken) en het is een eigenschap van tralies dat deze verhoudingen dan ook als trigonometrische verhoudingen kunnen voorgesteld worden. Dit wordt ook cosinusgelijkenis genoemd in de informatiewetenschappen en dit wordt gebruikt wanneer men teksten of beelden in een multidimensionale vectorruimte kan afbeelden. We zullen de cosinusgelijkenis nu modelleren in de tralie die we als voorbeeld gebruiken, zonder een bijkomend axioma in te voeren bovenop het enige axioma van het haakformalisme.

We bouwen dit stap voor stap op door de hoek te berekenen tussen de welgevormde haakuitdrukkingen (01111111) en (10111111), die toestanden zijn ten opzichte van verschillende infima, eenheden die beschikbaar zijn in de tralie (en zich dan onderscheiden van mogelijke andere eenheden die niet beschikbaar zijn in de tralie). Daartoe moeten we drie getallen bepalen: n, ν en μ. Hierin is μ het aantal gelijke bits gegeven het infimum, ν is het aantal bits gegeven het infimum en n is het totaal aantal bits relevant voor de grootste tralie. In de laatste kolom van de tabel geven we de arccos van de vierkantswortel van de voorlaatste kolom, maar enkel de waarde in het eerste kwadrant (met beperkte precisie). Deze hoek is niet essentieel maar het is die hoek die de cosinusgelijkenis genoemd wordt. Die hoek is een geometrische interpretatie van de verhouding (ratio) in de voorlaatste kolom die wel essentieel is, meetbaar met een duidelijke resolutie.

We starten in de eerste rij met het aantonen dat deze hoek ook kan berekend worden in het speciale geval waarin we dezelfde punten nemen die het infimum zijn van zichzelf. Vervolgens kiezen we in elke rij een ander infimum voor twee verschillende toestanden die we constant houden. De berekening van μ en ν verloopt als volgt: schrap alle bits die in de drie welgevormde haakuitdrukkingen (T₁, T₂, Infimum) dezelfde zijn. Dat is niet anders dan wat we doen om de relevante bits over te houden. Van die overblijvende bits in T₁ en T₂ zijn er nu een aantal dezelfde (dat is dus μ) en een totaal aantal (dat is dus ν).

Zo bewijzen we in de voorlaatste rij de orthogonaliteit van die gekozen toestanden (01111111) en (10111111), wat gedefinieerd is ten opzichte van het onvermijdelijke infimum (00000000). In de laatste rij van de tabel geven we ook een voorbeeld van toestanden die niet gerelateerd zijn met elkaar in de tralie, waarmee we de voorwaarden van infimum demonstreren waaronder deze toestanden kunnen gebruikt worden als alternatieve symbolen voor de twee gekozen toestanden. Hun disjunctie (namelijk 11111001) is niet beschikbaar in de tralie maar heeft exact hetzelfde patroon als de beschikbare (00111111). De simultaneïteitsrelatie van de vier toestanden (namelijk 01111111, 10111111, 11111011, 11111101) is enkel beschikbaar in de drie infima 00000011, 00000001, 00000000) en het is slechts bij de beschikbaarheid van die disjuncties dat 11111011 en 11111101 geen alternatief zijn voor 01111111 en 10111111.