We hebben aangetoond dat elke welgevormde haakuitdrukking in een vier dimensionale basis kan uitgedrukt worden, die gebaseerd is op de atomen van een twee onderscheidingen universum. Hierdoor geïnspireerd kunnen we nu ook aantonen dat elke welgevormde haakuitdrukking een scalair is. Met een scalair bedoelen we een invariant, dus iets dat onafhankelijk is van de basis waarin het uitgedrukt wordt.
We vertrekken terug van het voorbeeld H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>, uitgedrukt in de basis opgespannen door p•q=e en r•s=f:
H=s•p•(<<>>⊕e⊕f⊕<e•f>)=e•f•q•r•(<<>>⊕e⊕f⊕<e•f>)
H=s•q•(<<>>⊕e⊕<f>⊕e•f)=e•f•p•r•(<<>>⊕e⊕<f>⊕e•f)
H=r•p•(<<>>⊕<e>⊕f⊕e•f)=e•f•q•s•(<<>>⊕<e>⊕f⊕e•f)
H=<r•q>•(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕<e•f>)=<e•f•p•s>•(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕<e•f>)
We kunnen dit ook als volgt uitdrukken, aangezien <>⊕<>⊕<>=X:
H=s•p•(<<>>⊕<>⊕e⊕<>⊕f⊕<>⊕<e•f>)=s•p•(<<>>)⊕s•p•(<>⊕e)⊕s•p•(<>⊕f)⊕s•p•(<>⊕<e•f>)
H=s•q•(<<>>⊕<>⊕e⊕<>⊕<f>⊕<>⊕e•f)=s•q•(<<>>)⊕s•q•(<>⊕e)⊕s•q•(<>⊕<f>)⊕s•q•(<>⊕e•f)
H=r•p•(<<>>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕f⊕<>⊕e•f)=r•p•(<<>>)⊕r•p•(<>⊕<e>)⊕r•p•(<>⊕f)⊕r•p•(<>⊕e•f)
H=<r•q>•(<<>>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕<f>⊕<>⊕<e•f>)=<r•q>•(<<>>)⊕<r•q>•(<>⊕<e>)⊕<r•q>•(<>⊕<f>)⊕<r•q>•(<>⊕<e•f>)
Elke welgevormde haakuitdrukking kan dus uitgedrukt worden als een som van een scalair en een uitdrukking in een drie dimensionale basis.
We bewijzen dat door H uit te drukken als de som H⊕H⊕H⊕H waarbij we telkens een andere atoom gebruiken. Dus:
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=s•p•(<<>>⊕e⊕f⊕<e•f>)⊕s•q•(<<>>⊕e⊕<f>⊕e•f)⊕r•p•(<<>>⊕<e>⊕f⊕e•f)⊕<r•q>•(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕<e•f>) waarin de vier vectorproducten optreden als coëfficienten van OR-atomen van een twee onderscheidingen universum gebaseerd op de onderscheidingen e en f.
Als we de atomen de naam Oi geven met i van 1 tot 4 kunnen we schrijven dat H=s•p•(O1)⊕s•q•(O2)⊕r•p•(O3)⊕<r•q>•(O4).
We kunnen de componenten anders schikken:
H=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•<<>>⊕(s•p⊕s•q⊕<r•p>⊕r•q)•e⊕(s•p⊕<s•q>⊕r•p⊕r•q)•f⊕(<s•p>⊕s•q⊕r•p⊕r•q)•e•f
We kunnen dit ook uitdrukken als projectors, aangezien <>⊕<>⊕<>=X:
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=s•p•((<<>>)⊕(<>⊕e)⊕(<>⊕f)⊕(<>⊕<e•f>))⊕s•q•((<<>>)⊕(<>⊕e)⊕(<>⊕<f>)⊕(<>⊕e•f))⊕r•p•((<<>>)⊕(<>⊕<e>)⊕(<>⊕f)⊕(<>⊕e•f))⊕<r•q>•((<<>>)⊕(<>⊕<e>)⊕(<>⊕<f>)⊕(<>⊕<e•f>))
Wanneer we deze anders willen schikken dan krijgen we 7 componenten
H=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•(<<>>)⊕(s•p⊕s•q)•(<>⊕e)⊕(r•p⊕<r•q>)•(<>⊕<e>)⊕(s•p⊕r•p)•(<>⊕f)⊕(s•q⊕<r•q>)•(<>⊕<f>)⊕(s•q⊕r•p)•(<>⊕e•f)⊕(s•p⊕<r•q>)•(<>⊕<e•f>)
Dit geeft dan aanleiding tot:
H=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•(<<>>)⊕<s•p>•(<>⊕<p•q>)•(<>⊕e)⊕<r•p>•(<>⊕p•q)•(<>⊕<e>)⊕<s•p>•(<>⊕<r•s>)•(<>⊕f)⊕<s•p>•(<>⊕r•s)•(<>⊕<f>)⊕<r•p>•(<>⊕<p•q•r•s>)•(<>⊕e•f)⊕<s•p>•(<>⊕p•q•r•s)•(<>⊕<e•f>)
Aangezien we de volgende namen gebruikt hebben: p•q=e en r•s=f is dit natuurlijk niet anders dan:
H=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•(<<>>)⊕<s•p>•(<>⊕<e>)•(<>⊕e)⊕<r•p>•(<>⊕e)•(<>⊕<e>)⊕<s•p>•(<>⊕<f>)•(<>⊕f)⊕<s•p>•(<>⊕f)•(<>⊕<f>)⊕<r•p>•(<>⊕<e•f>)•(<>⊕e•f)⊕<s•p>•(<>⊕e•f)•(<>⊕<e•f>) waarbij dus alle orthogonale componenten verdwijnen en dus
H=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•(<<>>)
Een welgevormde haakuitdrukking kan dus geïnterpreteerd worden als een scalair, onafhankelijk van zijn projecties met behulp van projectoren.
QED
Er is nog een duale benadering beschikbaar, we merken immers op dat het volgende geldt:
(<>⊕e)•(<>⊕f)=(<<>>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)=(<>⊕<>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)=(<>⊕A1)
(<>⊕e)•(<>⊕<f>)=(<<>>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)=(<>⊕<>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)=(<>⊕A2)
(<>⊕<e>)•(<>⊕f)=(<<>>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)=(<>⊕<>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)=(<>⊕A3)
(<>⊕<e>)•(<>⊕<f>)=(<<>>⊕e⊕f⊕e•f)=(<>⊕<>⊕e⊕f⊕e•f)=(<>⊕A4)
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=<s•p>•(<>⊕<e>⊕<f>⊕e•f)⊕<s•q>•(<>⊕<e>⊕f⊕<e•f>)⊕<r•p>•(<>⊕e⊕<f>⊕<e•f>)⊕r•q•(<>⊕e⊕f⊕e•f)
We kunnen dit ook uitdrukken als projecties, aangezien <>⊕<>⊕<>=X:
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=<s•p>•(<>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕<f>⊕<>⊕e•f)⊕<s•q>•(<>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕f⊕⊕<><e•f>)⊕<r•p>•(<>⊕<>⊕e⊕<>⊕<f>⊕<>⊕<e•f>)⊕r•q•(<>⊕<>⊕e⊕<>⊕f⊕<>⊕e•f)
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=<s•p>•(<>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕<f>⊕<>⊕e•f)⊕<s•q>•(<>⊕<>⊕<e>⊕<>⊕f⊕⊕<><e•f>)⊕<r•p>•(<>⊕<>⊕e⊕<>⊕<f>⊕<>⊕<e•f>)⊕r•q•(<>⊕<>⊕e⊕<>⊕f⊕<>⊕e•f)
Wanneer we deze anders willen schikken dan krijgen we 7 componenten
H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>=
(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•<>⊕(<s•p>⊕<s•q>)•(<>⊕<e>)⊕(<r•p>⊕r•q)•(<>⊕e)⊕(<s•p>⊕<r•p>)•(<>⊕<f>)⊕(<s•q>⊕r•q)•(<>⊕f)⊕(<s•p>⊕r•q)•(<>⊕e•f)⊕(<s•q>⊕<r•p>)•(<>⊕<e•f>)
Dit geeft dan aanleiding tot:
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)•(<>⊕<e>)⊕r•p•(<>⊕p•q)•(<>⊕e)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)•(<>⊕<f>)⊕s•q•(<>⊕r•s)•(<>⊕f)⊕s•p•(<>⊕p•q•r•s)•(<>⊕e•f)⊕r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)•(<>⊕<e•f>)
Aangezien we de volgende namen gebruikt hebben: p•q=e en r•s=f is dit natuurlijk niet anders dan:
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕s•p•(<>⊕<e>)•(<>⊕<e>)⊕r•p•(<>⊕e)•(<>⊕e)⊕r•p•(<>⊕<f>)•(<>⊕<f>)⊕s•q•(<>⊕f)•(<>⊕f)⊕s•p•(<>⊕e•f)•(<>⊕e•f)⊕r•p•(<>⊕<e•f>)•(<>⊕<e•f>)
Aangezien alle projectoren idempotent zijn wordt dit:
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕s•p•(<>⊕<e>)⊕r•p•(<>⊕e)⊕r•p•(<>⊕<f>)⊕s•q•(<>⊕f)⊕s•p•(<>⊕e•f)⊕r•p•(<>⊕<e•f>)
Dus:
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)⊕s•q•(<>⊕r•s)⊕s•p•(<>⊕p•q•r•s)⊕r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•q⊕<s•p>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•q>
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)⊕<H>⊕<H>⊕<H>
H=(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q)•(<>)=(s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>)•(<<>>)
Een welgevormde haakuitdrukking kan dus geïnterpreteerd worden als een scalair, onafhankelijk van zijn projecties met behulp van projectoren.
QED