De predicaten logica (of eerste orde logica) wordt beschouwd als krachtiger dan de syllogistiek. Een predicaatlogische uitdrukking zonder variabelen krijgt de naam P. Een naam op zich zegt natuurlijk niets en moeten we minstens aan een haakuitdrukking in een bepaald universum verbinden en dus minstens één variabele. Met de formalisering van de logische kwantoren in het haakformalisme kunnen we nu onderzoeken onder welke voorwaarden of binnen welke universa bekende predicaatlogische uitdrukkingen geldig zijn. Een voordeel van het haakformalisme is dat zeer gemakkelijk rekening gehouden wordt met "vrije" en "gebonden" variabelen.

Logische waarheid versus existentie

Een predicaatlogische uitdrukking in één variabele kunnen we symboliseren als P(x).

Alle x zijn niet te onderscheiden van alle x wordt dan <x>_i<<x>_i> en dit heeft altijd waarde <>, zelfs als aan geen enkele x een waarde toegekend werd. In logische interpretatie is dat dus een logische waarheid.

Sommige x zijn niet te onderscheiden van sommige x wordt dan <<x_i><x_i>> en dit is niet anders dan x_i. In logische interpretatie geldt dit enkel als minstens één x waarde <> heeft, en dat wordt geïnterpreteerd als existentie.

Verband tussen ∀x en ∃x

Negatie

In de predicatenlogica wordt als axioma aangenomen dat ¬(∀x, P(x)) equivalent is met ∃x,¬P(x). We kunnen dit axioma nu expliciteren in het haakformalisme en onderzoeken onder welke vooronderstellingen dit axioma geldig is. We drukken dit axioma uit in het haakformalisme door ¬P te interpreteren als <P>, de inbedding van de uitdrukking die voor P staat.

∀x, P(x) is <x>_i<<x>_i> is <> dus ¬(∀x, P(x)) is <<x>_i<<x>_i>> is <<>>

∃x, P(x) is <<x_i><x_i>> is x_i dus ∃x, ¬P(x) is <<x_i><<x_i>>> is <<>>

We zien inderdaad dat ¬(∀x, P(x))↔∃x, ¬P(x)↔<<>>.

We kunnen nu ook onderzoeken onder welke voorwaarde dit zou gelden voor een willekeurige uitdrukking, dus in andere variabelen.

¬(∀x, P(y)) is <<x>_i<<y>_j>>

∃x, ¬P(y) is <<x_i>y_j>

We drukken nu de voorwaarde uit <<x>_i<<y>_j>>↔<<x_i>y_j>, of dus <x>_i<<y>_j>↔<x_i>y_j. Dit is geldig voor i=j=1 waarbij de uitdrukking wordt: <x>y↔<x>y.

Maar het kan ook algemener. We drukken eerst uit dat alle x dezelfde waarde hebben, dus <x_i><<x>_i> heeft waarde <>. <x_i><<x>_i> is de potentiële transformatie die overeenkomt met de actuele transformatie <x_i>↔<x>_i. Inderdaad, we drukken de transformatie <x_i>↔<x>_i uit als potentiële welgevormde haakuitdrukking en reduceren:

<<<x_i><<x>_i>><x_i<x>_i>>

<<<x_i><<x>_i>><<>>>

<<<x_i><<x>_i>>>

<x_i><<x>_i>

QED

Als we nu in <x>_i<<y>_j>↔<x_i>y_j nevenschikken met <<x>_i>, dan bekomen we <<x>_i><x>_i<<y>_j>↔<<x>_i><x_i>y_j en dat is dan onafhankelijk van de waarde van y want beide termen zijn niet verschillend van <> om andere redenen, het is dus geen tautologie.

Hetzelfde geldt voor het universum van y waarin we <x>_i<<y>_j>↔<x_i>y_j nevenschikken met <y_j> om dan <x>_i<<y>_j><y_j>↔<x_i>y_j<y_j> te bekomen. Beide termen zijn niet verschillend van <> om andere redenen, het is dus geen tautologie.

De voorwaarde geldt dus in beide gevallen, het is een disjunctie van de voorwaarde dat de x_i dezelfde waarde hebben en de voorwaarde dat de y_j dezelfde waarde hebben, waarden die niet gekend moeten zijn (bijvoorbeeld alle x hebben waarde <> of alle y hebben waarde <<>>).

Implicatie

In de predicatenlogica wordt soms aangenomen dat het volgende implicatief verband bestaat tussen de kwantoren: ∀x, P(x) → ∃x, P(x).

∀x, P(x) is <x>_i<<x>_i> is <>

∃x, P(x) is <<x_i><x_i>> is x_i

∀x, P(x) → ∃x, P(x) wordt dus <<>>x_i en dit maakt onmiddellijk duidelijk dat de implicatie geldig is als minstens één x waarde <> heeft, dit wordt dan geïnterpreteerd als de existentie van die x.

Ook dit kunnen we veralgemenen

∀x, P(y) is <x>_i<<y>_j>

∃x, P(y) is <<x_i><y_j>>

∀x, P(y) → ∃x, P(y) wordt dus <<x>_i<<y>_j>><<x_i><y_j>>

Stel dat <x_i><<x>_i> of dus <x_i>↔<x>_i. Dan wordt <<x>_i<<y>_j>><<x_i><y_j>> niet anders dan <<x_i><<y>_j>><<x_i><y_j>> of dus <<x_i><<<<y>_j>><<y_j>>>>, dus <<x_i><<y>_j>><<y_j>>, dus <<x_i><<y>_j>>y_j of dus <<x_iy_j><<y>_jy_j>>, <<x_iy_j><<>>> en dus x_iy_j. Dit betekent dat het ervaren van minstens één van de x of één van de y (dus de “existentie” ervan) voldoende is om de implicatie geldig te maken.

Stel dat <y_j><<y>_j> of dus <y_j>↔<y>_j. Dan wordt <<x>_i<<y>_j>><<x_i><y_j>> niet anders dan <<x>_i<<y_j>>><<x_i><y_j>> of dus <<x>_iy_j><<x_i><y_j>> en dit kan niet verder gereduceerd worden.

Stel dat <x_i>↔<x>_i zowel als <y_j>↔<y>_j geldt. We merken op dat in het geval <y_j>↔<y>_j de uitdrukking <<x>_iy_j><<x_i><y_j>> bekomen wordt. Deze uitdrukking is het creatief product (<<x>_i>⊗x_i)_yj en dit kan, met de veronderstelling <x_i>↔<x>_i, geschreven worden als (x_i⊗x_i)_yj en dit is een uitdrukking die altijd gelijk is aan x_i en dit maakt dan duidelijk dat de implicatie enkel van “de existentie van” minstens één x afhangt. Dus de waarde van de x moet <> zijn (en niet <<>>).