Enerzijds: ik kan altijd iets. Dit betekent: ik heb altijd minstens een keuzevrijheid tussen aspecten. Formeel: er is altijd een x_i ervaren. Er is dus een universum waarin ik nu kan kiezen, ik ervaar in dat universum dat OR-atoom-patroon. Dat lijkt op het eerste gezicht paradoxaal omdat het ervaren van x_i niet hoeft te betekenen dat ik x_i ervaar voor een bepaalde keuze van i. Simultaan met het ervaren van x_i gebeurt in dat universum een AND-atoom-patroon, namelijk <x_i>. Dat is een beperking, namelijk “iets anders dan een keuzevrijheid tussen onderscheidingen”. De andere AND-atomen hebben geen ervaringswaarde, zijn dus potentieel. Ik zou ervoor kunnen kiezen, zoals ook voor alle andere punten die deeluniversa zijn.

Anderzijds: ik bevind me altijd in een bepaalde, beperkte toestand die ik ervaar. Formeel: er is altijd een <<y>_j> ervaren. Dat is een beperking, namelijk “iets anders dan een keuzevrijheid”. Ik ervaar in dat universum een AND-atoom en dus ook j-1 OR-atomen, die dus in het ervaren niet van elkaar te onderscheiden zijn, dus alle OR-atomen behalve <y>_j.

Er is een universum waarin ik niet kan kiezen, en ook niet wil kiezen (de keuze is immers reeds gemaakt) gekarakteriseerd door de momentane <<y>_j> en er is een universum waarin ik wel kan kiezen, en ook wil kiezen, gekarakteriseerd door x_i. We zouden kunnen spreken van een i-universum en een j-universum.

Op dit moment is er een punt ervaren dat in beide universa gedefinieerd is. We kunnen dat als volgt modelleren: sommige x zijn (of impliceren, of genereren simultaan) alle y. Het ervaren punt wordt formeel dus voorgesteld als <x_i><<y>_j>, of volledig equivalent: <<y>_j>↔x_i<<y>_j>. De transformatie maakt duidelijk dat er nu een derde universum in het spel is naast het i-universum en het j-universum: de dubbele pijl toont dat een punt in het j-universum equivalent is met een punt in het derde universum dat zowel door punten uit het i-universum en punten uit het j-universum opgespannen wordt, noem dat een ij-universum.

Dit is onze momentane referentie positie: het unieke punt dat in twee universa (het j-universum en het ij-universum, waarvan een universum meer onderscheidingen heeft dan het andere) ervaren is. Enkel op dat unieke moment is convergeren (universum kleiner maken) en divergeren (universum groter maken) aan elkaar gelijk.

We kunnen daarenboven nog een derde soort aspecten onderscheiden, aspecten die geen eigen gesloten universum vormen (zoals het geval is met het j-universum), slechts momentaan optreden in het i-universum, slechts momentaan optreden in het j-universum. Afzonderlijk gezien zijn zij potentieel deel van een “eigen” symbolen repertorium, maar dat repertorium is niet als tralie te herkennen. De toestanden die we doorlopen zijn atomair, aangezien ze elkaar uitsluiten (het begrip "tijd", datgene dat gebeurt, waarvoor we niet kunnen kiezen). De onderscheidingen die in dat universum slechts even relevant zijn komen nooit meer terug, worden niet ingebouwd en vormen geen (deel van een) tralie. Maar dat zijn onderscheidingen die potentieel relevant zijn om de werkelijkheid met nieuwe ogen te leren zien. Als we creatief genoeg zijn kunnen de toestanden die we doorlopen aanleiding geven tot resultaten die we wel kunnen bewaren (we kunnen kiezen om sommige sporen die onze acties achterlaten te laten voortduren). Die resultaten zijn atomair omdat ook zij elkaar uitsluiten in een bepaald universum (het begrip "ruimte" en/of "materie").

We kunnen dat als volgt modelleren: het ervaren punt dat we voorstellen als <x_i><<y>_j> schrijven we nu in een lichtjes andere vorm: <ℵx_i-1><<ℵ><y>_j-1> waarbij ℵ niet anders is dan de “laatst toegevoegde onderscheiding”, die dus niet anders is dan de formele vertaling van het enige axioma. Dus ℵ is een van de x_i en <ℵ> is een van de y_j. Dus ℵ is een aspect dat slechts momentaan optreedt in het i-universum, en <ℵ> is een aspect dat slechts momentaan optreedt in het j-universum en, aangezien ℵ slechts relevant is voor één punt, is het “nog” niet opgenomen in een ander symbolen repertorium om daar betekenis te krijgen.

Hiermee is <x_i><<y>_j> dus geschreven in het creatief product formaat <a<x>><<a><y>>=(x⊗y)_a, zodanig dat het momentaan ervaren punt <x_i><<y>_j>, geschreven als creatief product, gelijk is aan <ℵx_i-1><<ℵ><y>_j-1>=(<x_i-1>⊗y_j-1)_ℵ.

(<x_i-1>⊗y_j-1)_ℵ is dus een punt dat <<tegelijk "keuze-ruimte" én "gekozen toestand" genereert>>. Het is een dubbel-geïndexeerde structuur die een momentopname is van twee simultane projecties:

Hierbij kunnen we aantonen dat (<x_i-1>⊗y_j-1)_ℵ zich altijd bevindt tussen de conjunctie en disjunctie van de termen <x_i-1> en y_j-1 en dus hiermee de fractaal structuur van het momentaan universum uitdrukt. Dus (<x_i-1>⊗y_j-1)_ℵ is fijner dan <x_i-1<y_j-1>> en is ruimer dan <x_i-1>y_j-1. Dit is wat anders dan een klassieke “intersectie”. Enkel op één moment is een groter universum te coderen en te hercoderen, het volgende moment kan dit anders zijn. Een sterke manier om dat te begrijpen is dat enkel momentaan ℵ relevant is in beide universa en dat enkel door ℵ te gebruiken beide universa met elkaar verbonden kunnen worden en dus de conjunctie <x_i-1<y_j-1>> en de disjunctie <x_i-1>y_j-1 kunnen gevormd worden.

Dit maakt duidelijk dat het haakformalisme een dynamisch (voortdurend veranderend) systeem is waarin elk ervaren een gelijktijdige projectie is in een “vrije keuze collapsruimte” (OR) en een “geactualiseerde collapsruimte” (AND), waarbij beide structuren elkaar wederzijds definiëren via een niet-commutatieve “overlapoperator” die een “indien…, dan…, zoniet…” relatie (een conditie) uitdrukt. Uiteraard kunnen we dit ook duaal uitdrukken voor elk gebeuren. Dualiteit zien we ook in de niet-commutativiteit van het creatief product (de operator): (<x_i-1>⊗y_j-1)_ℵ is verschillend van (y_j-1⊗<x_i-1>)_ℵ.

Als we het haakformalisme dan vergelijken met standaard formalismen dan kunnen we ons voorstellen dat bestaande theorieën moeten uitgebreid worden om het haakformalisme te evenaren, juist omdat standaard formalismen een gekozen universum niet kunnen verlaten. Standaard logica, herschrijf-theorie en categorie-theorie worden soms uitgebreid naar context-evolving, observer-internal, higher-order systemen om in werkelijkheid nog toepasbaar te blijven. Voor het haakformalisme is dat dus geen uitbreiding maar zit het concept agens-in-context inherent in het enige axioma.