Het isomorfisme tussen de onderscheidingen van het twee onderscheidingen universum en de operatoren sets is als volgt op een gemakkelijke en transparante manier in te zien met behulp van de operator representatie. Met elke set kan een 4x4 operator opgebouwd worden door sommen te nemen van de basismatrices. Dit is eenduidig, mengen van de sets levert immers sommen op waar interactie is op sommige posities. Dus binnen één set zullen de sommen niet interageren met elkaar. Interactie door matrix vermenigvuldiging is echter niet te vermijden, en dat levert dus de basismatrices op die met elkaar kunnen interageren en een gesloten structuur genereren, dus nooit resulteren in matrices met overlappende posities. Links vermenigvuldigen levert de negatieve vorm op van de basismatrices in vergelijking met rechts vermenigvuldigen, behalve voor het vermenigvuldigen met 1 (die ook een basismatrix is). Op die manier worden de extrema in de tralie van het twee onderscheidingen universum onderscheiden van de punten op centraal niveau. Alle niveau's worden bereikt door sommen van basismatrices.

Hieronder geven we de vertalingen per niveau, in de bovenste rij de welgevormde haakuitdrukking, daar vlak onder de haakvector, dan de bitsting en dan de matrix operator. De voorlaatste rij geeft de kolombasis, de laatste rij geeft de rijbasis.

Normaal Hamilton

Niveau 4

Haakuitdrukking

<<>>

Haakvector

<<>>

Bitstring in k en i

++++

Matrix

Kolombasis

(<>⊕A1); (<>⊕A2); (<>⊕A3); (<>⊕A4)

Rijbasis

(<>⊕A1); (<>⊕A2); (<>⊕A3); (<>⊕A4)

Niveau 3

Haakuitdrukking

<ki>

<<k>i>

<k<i>>

<<k><i>>

Haakvector

<>⊕k⊕i⊕<j>

<>⊕<k>⊕i⊕j

<>⊕k⊕<i>⊕j

<>⊕<k>⊕<i>⊕<j>

Bitstring in k en i

-+++

+-++

++-+

+++-

Matrix

Kolombasis

O3; O1; O2; A4

O4; A2; O1; O3

O2; O4; A3; O1

A1; O3; O4; O2

Rijbasis

<a>; <b>; a•b; <>

<a•b>; <>; <a>; b

<b>; a; <>; <a•b>

<>; a•b; b; a

Niveau 2

Haakuitdrukking

<k>

<i>

<<<k>i><k<i>>>

<<k>i><k<i>>

i

k

Haakvector

<k>

<i>

j

<j>

i

k

Bitstring in k en i

++--

+-+-

-++-

+--+

-+-+

--++

Matrix

Kolombasis

(<>⊕A4); (<>⊕A3); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O1)

(<>⊕A2); (<<>>⊕O1); (<>⊕A4); (<<>>⊕O3)

(<<>>⊕O3); (<>⊕A4); (<>⊕A1); (<<>>⊕O2)

(<>⊕A3); (<<>>⊕O4); (<<>>⊕O1); (<>⊕A2)

(<<>>⊕O2); (<>⊕A1);(<<>>⊕O4); (<>⊕A3)

(<<>>⊕O4); (<<>>⊕O2);(<>⊕A2); (<>⊕A1)

Rijbasis

(<<>>⊕O4); (<<>>⊕O3); (<>⊕A2); (<>⊕A1)

(<<>>⊕O2); (<>⊕A1); (<<>>⊕O4); (<>⊕A3)

(<>⊕A3); (<<>>⊕O4); (<<>>⊕O1); (<>⊕A2)

(<<>>⊕O3); (<>⊕A4); (<>⊕A1); (<<>>⊕O2)

(<>⊕A2); (<<>>⊕O1);(<>⊕A4); (<<>>⊕O3)

(<>⊕A4); (<>⊕A3); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O1)

Niveau 1

Haakuitdrukking

<k><i>

k<i>

<k>i

ki

Haakvector

<<>>⊕<<k>>⊕<<i>>⊕<<j>>

<<>>⊕<k>⊕<<i>>⊕<j>

<<>>⊕<<k>>⊕<i>⊕<j>

<<>>⊕<k>⊕<i>⊕<<j>>

Bitstring in k en i

---+

--+-

-+--

+---

Matrix

Kolombasis

O1; A3; A4; A2

A2; A4; O3; A1

A4; O2; A1; A3

A3; A1; A2; O4

Rijbasis

<<>>; <a•b>; <b>; <a>

b; <a>; <<>>; a•b

a•b; <<>>; a; <b>

a; b; <a•b>; <<>>

Niveau 0

Haakuitdrukking

<>

Haakvector

<>

Bitstring in k en i

----

Matrix

Kolombasis

(<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4)

Rijbasis

(<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4)



Reverse Hamilton

Niveau 4

Haakuitdrukking

<<>>

Haakvector

<<>>

Bitstring in k en j

++++

Matrix

Kolombasis

(<>⊕A1); (<>⊕A2); (<>⊕A3); (<>⊕A4)

Rijbasis

(<>⊕A1); (<>⊕A2); (<>⊕A3); (<>⊕A4)

Niveau 3

Haakuitdrukking

<kj>

<<k>j>

<k<j>>

<<k><j>>

Haakvector

<>⊕k⊕j⊕i

<>⊕<k>⊕j⊕<i>

<>⊕k⊕<j>⊕<i>

<>⊕<k>⊕<j>⊕i

Bitstring in k en j

-+++

+-++

++-+

+++-

Matrix

Kolombasis

<>; a; a•b; b

<a•b>; <b>; <>; a

<a>; <>; b; <a•b>

<b>; a•b; <a>; <>

Rijbasis

A1; O4; O2; O3

O4; O1; A3; O2

O3; A2; O4; O1

O2; O3; O1; A4

Niveau 2

Haakuitdrukking

<k>

<j>

<<<k>j><k<j>>>

<<k>j><k<j>>

j

k

Haakvector

<k>

<j>

<i>

i

j

k

Bitstring in k en j

+-+-

++--

-++-

+--+

--++

-+-+

Matrix

Kolombasis

(<>⊕A4); (<<>>⊕O3); (<>⊕A2); (<<>>⊕O1)

(<>⊕A3); (<>⊕A4); (<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2)

(<>⊕A2); (<<>>⊕O1); (<<>>⊕O4); (<>⊕A3)

(<<>>⊕O2); (<>⊕A1); (<>⊕A4); (<<>>⊕O3)

(<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4); (<>⊕A1); (<>⊕A2)

(<<>>⊕O4); (<>⊕A3); (<<>>⊕O2); (<>⊕A1)

Rijbasis

(<<>>⊕O4); (<>⊕A3); (<<>>⊕O2); (<>⊕A1)

(<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4); (<>⊕A1); (<>⊕A2)

(<<>>⊕O2); (<>⊕A1); (<>⊕A4); (<<>>⊕O3)

(<>⊕A2); (<<>>⊕O1); (<<>>⊕O4); (<>⊕A3)

(<>⊕A3); (<>⊕A4); (<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2)

(<>⊕A4); (<<>>⊕O3); (<>⊕A2); (<<>>⊕O1)

Niveau 1

Haakuitdrukking

<k><j>

k<j>

<k>j

kj

Haakvector

<<>>⊕k⊕j⊕<i>

<<>>⊕<k>⊕j⊕i

<<>>⊕k⊕<j>⊕i

<<>>⊕<k>⊕<j>⊕<i>

Bitstring in k en j

---+

--+-

-+--

+---

Matrix

Kolombasis

b; <a•b>; a; <<>>

a; <<>>; <b>; a•b

a•b; b; <<>>; <a>

<<>>; <a>; <a•b>; <b>

Rijbasis

A2; A3; A1; O4

A3; O2; A4; A1

A4; A1; O3; A2

O1; A4; A2; A3

Niveau 0

Haakuitdrukking

<>

Haakvector

<>

Bitstring in k en j

----

Matrix

Kolombasis

(<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4)

Rijbasis

(<<>>⊕O1); (<<>>⊕O2); (<<>>⊕O3); (<<>>⊕O4)

Bespreking

Aangezien een tralie de uitdrukking is van logisch te interpreteren relaties drukt deze manier van voorstellen dus uit dat alle logische operaties te modelleren zijn met matrices. Een matrix die dus inwerkt op een kolom (of een rij) zal dus een logisch te interpreteren transformatie op die kolom (of rij) uitvoeren, en dat wat ook de componenten zijn van de kolom (of de rij).

Indien H∼(h1, h2, h3, h4) voldoet aan het creatief product patroon dan zullen beide tralies een isomorfe structuur genereren in de werkelijkheid die door de onderscheidingen van H opgespannen wordt, isomorf met de tralie van de onderscheidingen maar ook isomorf met de tralie die door het creatief product patroon opgespannen wordt. Aangezien H op vier manieren als een creatief product patroon kan voorgesteld worden ontstaan hierbij 16 isomorfe tralies. Dit moet nog verder onderzocht worden om er nog veel meer mogelijkheden zijn om een gesloten structuur te vormen met matrices, minimaal de structuur gebaseerd op de normale en inverse Hamilton regels (die gebaseerd zijn op een even permutatie van basissen van de atomen). Elk genereert ook nog een gesloten structuur met de inverse operaties, waarbij de kolombasis in rijbasis veranderd wordt en omgekeerd.