We voeren het onderzoek naar structuur met projectoren op de meest eenvoudige manier door het bitmodel van gecollapste haakuitdrukkingen te gebruiken.

Projectoren van toestanden

Het twee onderscheidingen universum wordt opgespannen door vier toestanden: <<a><b>>∼1110, <a<b>>∼1101, <<a>b>∼1011 en <ab>∼0111. Zij geven aanleiding tot de volgende 4 projectoren:

(<>⊕<<a><b>>)∼xxx1

(<>⊕<a<b>>)∼xx1x

(<>⊕<<a>b>)∼x1xx

(<>⊕<ab>)∼1xxx

We bewijzen nu dat de projectoren zich niet twee-aan-twee uitsluiten, maar wel vier-aan-vier.

We berekenen daarom de conjuncties van deze vier.

(<>⊕<<a><b>>)∼xxx1 met (<>⊕<a<b>>)∼xx1x is 0011. Beide sluiten elkaar niet twee-aan-twee uit. De conjunctie van 0011 met (<>⊕<<a>b>)∼x1xx is x111, de conjunctie hiervan met (<>⊕<ab>)∼1xxx is dan 1111.

We kunnen ook disjuncties berekenen:

(<>⊕<<a><b>>)∼xxx1 met (<>⊕<a<b>>)∼xx1x is 11xx, disjunctie met (<>⊕<<a>b>)∼x1xx is x111, disjunctie met (<>⊕<ab>)∼1xxx is xxxx.

De resulterende structuur is de volgende tralie:

Het twee onderscheidingen universum wordt ook opgespannen door vier ingebedde toestanden en die geven aanleiding tot de volgende projectoren:

(<>⊕<a><b>)∼111x

(<>⊕a<b>)∼11x1

(<>⊕<a>b)∼1x11

(<>⊕ab)∼x111

Er geldt ook:

Projectoren van basisvectoren

Het twee onderscheidingen universum wordt opgespannen door drie vectoren: a, b en de 2-vector a•b. De inbeddingen bevinden zich op hetzelfde niveau. Zij geven aanleiding tot de volgende 6 projectoren:

(<>⊕a)∼x1x1

(<>⊕<a>)∼1x1x

(<>⊕b)∼xx11

(<>⊕<b>)∼11xx

(<>⊕a•b)∼x11x

(<>⊕<a•b>)∼1xx1

Elkaar (drie-aan-drie) uitsluiten

De projectoren van specifiek gekozen drie punten van de zes punten op centraal niveau in twee onderscheidingen sluiten elkaar drie-aan-drie uit en conjunctie en disjunctie zijn aan elkaar gelijk. De voorwaarde is dat er geen gemeenschappelijke don’t cares mogen zijn.

De conjunctie van (<>⊕a)∼x1x1 en (<>⊕b)∼xx11 is 0111. Beide sluiten elkaar niet twee-aan-twee uit. Als we de voorwaarde willen berekenen dat de conjunctie met een van de andere gelijk zou zijn aan <<>>, dan geeft de positie van de laagbit waar zich de hoogbit moet bevinden. Dit vinden we bij (<>⊕<a>)∼1x1x en (<>⊕<b>)∼11xx, maar ook bij (<>⊕<a•b>)∼1xx1. Dus, in hybride notatie <<(<>⊕a)><(<>⊕b)><(<>⊕<a•b>)>> is niet anders dan <<>>.

De disjunctie van (<>⊕a)∼x1x1 en (<>⊕b)∼xx11 is 1xx1. De disjunctie met (<>⊕<a•b>)∼1xx1 is dan eveneens <<>>∼1111. Dus (<>⊕a)(<>⊕b)(<>⊕<a•b>) is niet anders dan <<>>.

Dus de conjunctie van de drie is 1111 en de disjunctie van de drie is eveneens 1111.

QED

Er geldt dus de volgende tralie:

Dit geldt ook voor conjunctie of disjunctie met een ingebedde basisvector, bijvoorbeeld:

(<>⊕<a>)∼1x1x en (<>⊕b)∼xx11 vereist (<>⊕a•b)∼x11x.

In hybride notatie: <<(<>⊕<a>)><(<>⊕b)><(<>⊕a•b)>>∼<<>> en (<>⊕<a>)(<>⊕b)(<>⊕a•b)∼<<>>

Een andere richting kiezen voor één van de projectoren vereist dus een andere richting voor een tweede projector.

QED

Er geldt dus ook de volgende tralie:

Orthogonaliteit als niet binair concept

Wanneer orthogonaliteit gedefinieerd wordt als een vectorproduct gelijk aan de nulvector, dan zijn enkel de projectoren overeenkomend met een basisvector en zijn inbedding (twee-aan-twee) orthogonaal.

We kunnen wel een drie-aan-drie orthogonaliteit vinden, maar niet met de drie projectoren die elkaar uitsluiten (<>⊕a), (<>⊕b) en (<>⊕<a•b>) want (<>⊕a)•(<>⊕b)•(<>⊕<a•b>)=(x1x1)•(xx11)•(1xx1) is niet anders dan (xxx1). Orthogonaliteit (drie-aan-drie) geldt wel voor (<>⊕a)•(<>⊕b)•(<>⊕a•b) want (<>⊕a)•(<>⊕b)•(<>⊕a•b)=(x1x1)•(xx11)•(x11x) is niet anders dan (xxxx).

Twee-aan-twee orthogonaliteit vinden we enkel in een gecollapst universum, bijvoorbeeld als 0001 niet verschillend is van 1111, en dus in het geval dat <a><b> niet verschillend is van <<>> (en dus <<a><b>> niet verschillend is van <>). Het ervaren van die toestand is het centraal punt dat mogelijk maakt dat drie projectoren orthogonaal zijn en dat ze dan ook twee-aan-twee orthogonaal zijn. Inderdaad, in dat geval gelden:

(x1xx)•(xx1x)•(1xxx)=(xxxx)

(x1xx)•(xx1x)=(xxxx)

(xx1x)•(1xxx)=(xxxx)

(x1xx)•(1xxx)=(xxxx)

Enkel in een gecollapst universum komt (twee-aan-twee) orthogonaliteit overeen met “elkaar uitsluiten”.

We merken nu op dat, in hybride notatie geldt dat de conjunctie, <<x1xx><xx1x><1xxx>>, niet anders is dan (111x) en dat eveneens de disjunctie, (x1xx)(xx1x)(1xxx), niet anders is dan (111x).

Besluit

Een potentiële tralie van twee onderscheidingen is niet op te spannen door drie projectoren, of ze nu orthogonaal zijn of niet.

De conjunctie van drie niet orthogonale projectoren (<>⊕a)∼x1x1; (<>⊕b)∼xx11; (<>⊕<a•b>)∼1xx1, is onmogelijk te ervaren en dit is niet anders dan de disjunctie van die drie projectoren. Zowel de conjunctie als disjunctie van de inbedding van die projectoren is dan onvermijdelijk ervaren.

In het ervaren van een OR-atoom is (en dus de collaps van de tralie naar drie betekende bits) is de conjunctie van drie orthogonale projectoren onmogelijk te ervaren en dat is niet anders dan de disjunctie van die drie projectoren. De drie betekende bits vormen wel een volledige tralie, maar die is een gecollapste tralie in twee onderscheidingen.