We hebben verschillen van toestanden uitgebreid onderzocht. Verschillen zijn niet commutatief: T1⊕<T2> is verschillend van <T1>⊕T2. Sommen van toestanden zijn wel commutatief. Sommen zullen dus andere eigenschappen hebben. Bijvoorbeeld: er zijn maar twee toestanden in één onderscheiding, noem ze T en <T>. Het verschil van beide geeft een toestand als eenheid maar een som van beide geeft de nulvector.
We geven eerst de tabel van de toestanden (AND-atomen) en hun bitstring
Naam |
Haakvector |
Bitstring |
T1 |
<>⊕<a>⊕<b>⊕a•b |
(1110) |
T2 |
<>⊕a⊕<b>⊕<a•b> |
(1101) |
T3 |
<>⊕<a>⊕b⊕<a•b> |
(1011) |
T4 |
<>⊕a⊕b⊕a•b |
(0111) |
We berekenen sommen zoals we ook verschillen berekend hebben en tonen nu enkel de bitstring voorstelling:
Toestand Generatie 0 |
Toestand Generatie 0 |
Som Generatie 1 |
Som Generatie 1 |
Som van som Generatie 2 |
Som van som Generatie 2 |
Som van som van som Generatie 3 |
Som van som van som Generatie 3 |
T1 |
(1110) |
|
|
|
|
|
|
T2 |
(1101) |
T1⊕T2 |
(00xx) |
|
|
|
|
T3 |
(1011) |
T2⊕T3 |
(0xx0) |
T1⊕<T2>⊕T3 |
(10x0) |
|
|
T4 |
(0111) |
T3⊕T4 |
(xx00) |
T2⊕<T3>⊕T4 |
(0x01) |
T1⊕T4 |
(x00x) |
T1 |
(1110) |
T4⊕T1 |
(x00x) |
T3⊕<T4>⊕T1 |
(x010) |
T2⊕T1 |
(00xx) |
T2 |
(1101) |
T1⊕T2 |
(00xx) |
T4⊕<T1>⊕T2 |
(010x) |
T3⊕T2 |
(0xx0) |
T2 |
(1101) |
T1⊕T2 |
(00xx) |
T1⊕<T2>⊕T3 |
(10x0) |
T4⊕T3 |
(xx00) |
De benadering met sommen verschilt van de benadering met verschillen. We hebben bij de generaties verschillen aangetoond dat er in generatie 2 maar 4 mogelijke verschillen zijn. Indien we de zes verschillen in generatie 1 hadden berekend, zouden we in generatie 2 geen andere dan de berekende 4 gevonden hebben want er zijn maar 4 mogelijkheden om een som van 3 te berekenen uitgaande van (T1, T2, T3, T4). Dat zien we nu niet: er zijn meerdere mogelijkheden om een som van drie toestanden te maken waarvan er één ingebed is.
We berekenen nu de zes mogelijke sommen
Naam |
Haakvector |
Bitstring |
T1⊕T2 |
<<>>⊕b |
(1110)⊕(1101)=(00xx) |
T1⊕T3 |
<<>>⊕a |
(1110)⊕(1011)=(0x0x) |
T1⊕T4 |
<<>>⊕<a•b> |
(1110)⊕(0111)=(x00x) |
T2⊕T3 |
<<>>⊕a•b |
(1101)⊕(1011)=(0xx0) |
T2⊕T4 |
<<>>⊕<a> |
(1101)⊕(0111)=(x0x0) |
T3⊕T4 |
<<>>⊕<b> |
(1011)⊕(0111)=(xx00) |
De sommen hebben allemaal dezelfde signatuur en zijn twee-aan-twee orthogonaal.
T1⊕T2 versus T3⊕T4
T1⊕T3 versus T2⊕T4
T1⊕T4 versus T2⊕T3
De som van de orthogonalen is <> en dat is niet anders dan T1⊕T2⊕T3⊕T4.
Met deze eerste generatie kunnen we dus ook individuele bits construeren.
Bijvoorbeeld:
(T1⊕T2)•(T1⊕T3)∼(00xx)•(0x0x)=(1xxx) en ook: (T1⊕T2)•(T2⊕T3)∼(00xx)•(0xx0)=(1xxx).
Individuele bits worden door zowel door sommen als door verschillen gegenereerd.
(<T3>⊕T4)•(<T2>⊕T4)∼(10xx)•(1x0x)=(1xxx) en ook: (<T3>⊕T4)•(<T1>⊕T4)∼(10xx)•(1xx0)=(1xxx).
We merken op dat T1⊕T2 (dus (00xx) orthogonaal is met <T1>⊕T2 (dus xx10). Dus hun product is X. Dus met Tr als willekeurig gekozen toestand: (Tr⊕T1⊕T2)•(Tr⊕<T1>⊕T2)=<<>>⊕<Tr•T2>.
Aangezien de toestanden elkaar uitsluiten is dat niet anders dan de som van de twee andere toestanden. Bijvoorbeeld met Tr=T3 is dat (T1⊕T4) en dit zijn twee andere toestanden vergeleken met de som (T3⊕T2). Inderdaad:
(T1⊕T4)∼(x00x)
<T3•T2>∼(0110)
<<>>⊕<T3•T2>∼(x00x)
Aangezien T1 en T4 elkaar uitsluiten is (T1⊕T4) niet anders dan <<>>⊕T1•T4. Er geldt dus (<<>>⊕<T3•T2>)=(<<>>⊕T1•T4)∼(x00x) en dus hun orthogonalen (<<>>⊕T3•T2)=(<<>>⊕<T1•T4>)∼(0xx0)
Met disjunctie (∨) en conjunctie (∧) vormen we de volgende tralie:
|
X∼(xxxx) |
|
(<<>>⊕<T3•T2>)=(<<>>⊕T1•T4)∼(x00x) |
|
(<<>>⊕T3•T2)=(<<>>⊕<T1•T4>)∼(0xx0) |
|
<>∼(0000) |
|
De bitstrings van alle mogelijke sommen van toestanden, in welk universum dan ook hebben allemaal het patroon met enkel don’t cares en laagbits. De interpretatie van dit patroon is dat dit niet kan onderscheiden worden van het ervaren zelf. Dat kan altijd gemodelleerd worden door een (anderspotente) projector van een product van toestanden en er ontstaat altijd een “lokale” 1-splitsing.