Te bewijzen: elke welgevormde haakuitdrukking kan teruggebracht worden tot ofwel <> ofwel <<>>.

Bewijs

We veronderstellen dat een welgevormde haakuitdrukking eindig is.

We passen axioma 4 toe en vervangen elk symbool uit de welgevormde haakuitdrukking door ofwel <>, ofwel <<>>. Het resultaat hiervan is een welgevormde haakuitdrukking met enkel nog haken.

Dan kunnen we altijd een of meerdere meest ingebedde haken vinden. Een meest ingebedde haak is dus leeg en herkennen we als <>.

We beschouwen nu de volgende mogelijkheden:

a. De meest ingebedde haak staat niet tussen haken. De structuur is dus een <> of een nevenschikking van <>. Met axioma 3 kan die in een eindig aantal stappen teruggebracht worden tot <>.

b. De meest ingebedde haak staat tussen haken.

Staat hij alleen tussen haken dan staat daar <<>> en met axioma 2 kan dit geschrapt worden waardoor een structuur ontstaat met twee haken minder.

Staan meerdere meest ingebedde haken tussen een haak dan kunnen met axioma 3 de haken teruggebracht worden tot één haak, waarbij we dan een structuur bekomen die <<>> bevat die dan met axioma 2 kan geschrapt worden.

Dezelfde werkwijze volgen we nu op de nieuw gevormde structuur. Bij elke stap zal minstens één haak verdwijnen zodanig dat de eindige structuur in een eindig aantal stappen teruggebracht wordt tot <> of tot <<>>.

We merken op dat deze werkwijze leidt tot een ondubbelzinnig resultaat. Aangezien we alle stappen van de werkwijze ook in omgekeerde richting kunnen doorlopen is het dus onmogelijk dat we tot dezelfde structuur zouden komen uitgaande van <> of van de <<>>. Het is immers onmogelijk dat <> vervangen kan worden door <<>>.

QED