Een nieuw formalisme uitleggen start gewoonlijk met het introduceren van een notatie. Ook daaraan ontsnapt het haakformalisme niet. Een toelaatbare notatie in het haakformalisme noemen we een welgevormde haakuitdrukking. Maar ook hierin is het formalisme zeer ongewoon omdat het onvermijdelijk is dat ook iets dat niet genoteerd staat moet kunnen genoteerd worden als welgevormde haakuitdrukking.
Iets dat niet genoteerd staat kan altijd genoteerd worden door <<>>. <<>> is een welgevormde haakuitdrukking. <<>> moet niet genoteerd worden, wat betekent dat <<>> altijd kan genoteerd worden zelfs als men ervoor kiest niets te noteren.
Iets dat genoteerd staat, bijvoorbeeld p, wordt genoteerd als p.
p is een welgevormde haakuitdrukking, wat p ook moge zijn.
♠ is een welgevormde haakuitdrukking, wat ♠ ook moge zijn.
• ◊..!!↵ is een welgevormde haakuitdrukking, wat • ◊..!!↵ ook moge zijn.
Wat genoteerd staat kan men altijd inbedden in een linker- en een rechter-haak en men bekomt terug een welgevormde haakuitdrukking.
Is p genoteerd dan wordt de inbedding van p genoteerd als <p>.
Is • ◊..!!↵ genoteerd dan wordt de inbedding van • ◊..!!↵ genoteerd als <• ◊..!!↵>.
De inbedding van p is een welgevormde haakuitdrukking. Dit is als volgt te herkennen: voor elke linkerhaak is er een overeenkomstige rechterhaak.
Als p verwijst naar p dan verwijst de inbedding van p naar “iets anders dan p”.
De inbedding van <<>> verwijst dus naar “iets anders dan datgene dat kan, maar niet moet genoteerd worden”. De inbedding van <<>> is <<<>>>, en aangezien <<>> niet moet genoteerd worden is <<<>>> niet te onderscheiden van <>. <> is een welgevormde haakuitdrukking.
Iets dat genoteerd staat kan nevengeschikt worden met een ander iets dat genoteerd staat. Staan bijvoorbeeld p en q genoteerd dan is de nevenschikking pq een nieuwe welgevormde haakuitdrukking. De positie (voor, achter, links, rechts, onder, boven, ...) van beide symbolen ten opzichte van elkaar is irrelevant.
Elke notatie, elk nieuw symbool, moet als welgevormde haakuitdrukking kunnen voorgesteld worden. Als we daar niet in slagen kunnen we dat symbool in het haakformalisme niet inzetten.
Als voorbeeld geven we het symbool (de dubbele pijl) voor het potentieel vervangen van een welgevormde uitdrukking door een andere: ↔ . We zullen bijvoorbeeld aantonen dat p ↔ q kan uitgedrukt worden door de welgevormde haakuitdrukking: <<p<q>><<p>q>>. Maar nu lopen we al veel sneller dan dat we kunnen stappen. Om dit echt te begrijpen moeten we eerst heel precies en heel consequent het formalisme opbouwen vanuit het niets, dus vanuit <<>>, en we zullen begrijpen dat het begrip “potentieel” (in “potentieel vervangen”) hier meer dan ooit op zijn plaats is.