Een infinitesimaal d is een onderscheiding die aan de volgende eis moet voldoen: de onderscheiding moet tot dezelfde soort behoren als de onderscheidingen die een bepaald getalkarakter (relatie tussen getallen) realiseren. We zullen ons nu afvragen wat er mogelijk is als we meerdere verschillende infinitesimalen onderscheiden.
We veronderstellen d1 en d2.
Het product d1d2 is gedefinieerd als een vector vermenigvuldiging in het haakformalisme en het kwadraat van dit product is nul juist door de eis die we gesteld hebben voor elke d afzonderlijk.
De som d1 + d2 is gedefinieerd als een vector som, maar het kwadraat is niet nul, inderdaad geldt dat (d1 + d2)2=(d1)2 + 2d1d2 + (d2)2= 2d1d2, de derde macht en de daaropvolgende machten daarentegen zijn nul! Inderdaad: (d1 + d2)3=(d1)3 + 3(d1)2d2 + 3d1(d2)2 + (d2)3=0.
Merk op dat (d1 + d2)2=0 in het geval d1 en d2 orhogonaal zijn (bijvoorbeeld een p+q en een p-q).
De som van infinitesimalen maakt het nu mogelijk om hogere afgeleiden te definiëren. Daartoe moeten we enkel de formule voor één infinitesimaal een paar maal toepassen:
f(a+d1+d2)
f(a+d1)+f'(a+d1)d2
f(a)+f'(a)d1+(f'(a)+f''(a)d1)d2 hierbij creëren we de nieuwe relatie f''(a) die naar analogie met de eerste afgeleide, een tweede afgeleide genoemd wordt.
f(a)+f'(a)d1+f'(a)d2+f''(a)d1d2
f(a)+f'(a)(d1+d2)+f''(a)d1d2
f(a)+f'(a)(d1+d2)+2-1f''(a)2d1d2
f(a)+f'(a)(d1+d2)+2-1f''(a)(d1 + d2)2
Wanneer we dat uitbreiden naar nog meer infinitesimalen ontstaat het patroon van de Taylor reeks.
De onbekende is nu de som a+d1+d2+... . Het eerste punt a is het bekende eerste punt dat de intensiteit van de entiteit weergeeft, dat we nu x0 noemen, dus x0+ Σdi=x en Σdi=x-x0. Merk op dat x-x0 een verschil is dat een verschil maakt met een bepaalde intensiteit van dezelfde entiteit, een differentiaal, en dat x een som is van infinitesimalen die verschillend zijn van elkaar.
f(x-x0)=f(x0)+(1!)-1f'(x0)(x-x0)+(2!)-1f''(x0)(x-x0)2+(3!)-1f(3')(x0)(x-x0)3+...