We zullen nu de minimale tralie zoeken die opgebouwd kan worden uitgaande van drie orthogonale projectoren (<>⊕a), (<>⊕b) en (<>⊕c) waarbij we a, b en c willekeurig kunnen kiezen. We beklemtonen dat we de klassieke twee-aan-twee orthogonaliteit veronderstellen.
Hiertoe drukken we de veronderstellingen uit van orthogonaliteit (het vectorproduct is niet verschillend van de al-nul vector): (<>⊕a)•(<>⊕c) is <<>>⊕<c>⊕<a>⊕c•a=X. Aangezien elke term een welgevormde haakuitdrukking is, kunnen we dit gebruiken om de welgevormde haakuitdrukkingen die deel uitmaken van de tralie te construeren, dus een som van drie termen is een welgevormde haakuitdrukking bijvoorbeeld <c>⊕<a>⊕c•a=<>; <<>>⊕<c>⊕<a>=<c•a>; enz...
Dus dit geldt voor het patroon van een som van drie termen met de vorm x⊕y⊕x•y en <<>>⊕x⊕y en dit zijn welgevormde haakuitdrukkingen.
We bouwen nu een stelsel die de simultaan te realiseren voorwaarden uitdrukt.
(<>⊕a)•(<>⊕c) is <<>>⊕<c>⊕<a>⊕c•a=X
(<>⊕b)•(<>⊕c) is <<>>⊕<c>⊕<b>⊕c•b=X
(<>⊕b)•(<>⊕a) is <<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b=X
Uit de eerste vergelijking volgt onmiddellijk dat <c>⊕<a>=<>⊕<c•a> en dat kan enkel wanneer c•a=<> of c=a=<<>>, hetzelfde geldt voor de twee andere 2-vectoren. Aangezien de voorwaarde c=b=a=<<>> geen potentiële tralie opspant, beschouwen we enkel het geval dat c•a=<>, c•b=<>, b•a=<>.
Het stelsel is dus niet anders dan:
<c>⊕<a>=X
<c>⊕<b>=X
<a>⊕<b>=X
Hetzelfde geldt voor de inbeddingen.
Merk op dat dit niet anders is dan de eis dat de projectoren elkaar uitsluiten (de conjunctie is niet verschillend van <<>>). We geven hiervan een voorbeeld: <>⊕(<<>>⊕<a>)⊕(<<>>⊕<b>)⊕(<>⊕a)•(<>⊕b)=<>⊕(<<>>⊕<a>)⊕(<<>>⊕<b>)=<<>>⊕<a>⊕<b>. We merken nu op dat a•b=<>, dus <a>=b en <a>⊕<b>=X zodat de conjunctie gelijk is aan <<>>.
Het gevolg hiervan is dat de veronderstelling enkel vanaf een vier onderscheidingen universum kan gerealiseerd worden. Inderdaad de voorwaarden a•b=<>, a•c=<>, b•c=<> kunnen niet samen gerealiseerd worden in een drie onderscheidingen universum. Dit betekent dat drie orthogonale projectoren een relatie is die slechts vanaf vier onderscheidingen kan gemodelleerd worden. Inderdaad, stel w•x•y•z=<> dan kunnen we hieruit construeren: w•x=<y•z>, w•y=<x•z> en w•z=<x•y> en dus w•x⊕y•z=X en dus <<>>⊕w•x⊕y•z⊕<>=X en dus <<>>⊕w•x⊕y•z⊕w•x•y•z=X en aangezien het linker lid niet anders is dan (<>⊕<w•x>)•(<>⊕<y•z>), geldt (<>⊕<w•x>)•(<>⊕<y•z>)=X en dit geeft de orthogonale projectoren.
Dit maakt duidelijk dat we hiermee een deeltralie kunnen maken in het vier onderscheidingen universum wanneer we de volgende transformatie uitvoeren:
Vier onderscheidingen |
Drie onderscheidingen |
w•x |
a |
y•z |
<a> |
w•y |
b |
x•z |
<b> |
w•z |
c |
x•y |
<c> |
Dit betekent ook dat we die tralie op verschillende manieren kunnen voorstellen, het is dus voldoende om a te vervangen door w•x, b door w•y en c door w•z om de tralie te construeren (maar andere combinaties zijn ook mogelijk).
Hieronder is dat eerste voorbeeld eens uitgeschreven, de eerste kolom geeft de standaard bitstring voor de 256 welgevormde haakuitdrukkingen, de tweede kolom geeft het aantal per patroon, de derde kolom geeft een haakuitdrukking waarin de componenten nog duidelijk te onderscheiden zijn als disjuncties en conjuncties van (inbeddingen van) 2-vector producten, de vierde kolom geeft de haakvectorvorm waarin vereenvoudigingen zijn uitgevoerd, doordat w•w niet anders is dan <<>>.
1 |
Aantal |
3 |
4 |
0000.0000 |
2 |
w•x•y•z |
<> |
1111.1111 |
<w•x•y•z> |
<<>> |
|
1000.0000 |
8 |
w•zw•yw•x |
w•x⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
0100.0000 |
w•zw•y<w•x> |
<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0010.0000 |
w•z<w•y>w•x |
w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0001.0000 |
w•z<w•y><w•x> |
<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0000.1000 |
<w•z>w•yw•x |
w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0000.0100 |
<w•z>w•y<w•x> |
<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0000.0010 |
<w•z><w•y>w•x |
w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0000.0001 |
<w•z><w•y><w•x> |
<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0111.1111 |
8 |
<w•zw•yw•x> |
<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
1011.1111 |
<w•zw•y<w•x>> |
w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1101.1111 |
<w•z<w•y>w•x> |
<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1110.1111 |
<w•z<w•y><w•x>> |
w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1111.0111 |
<<w•z>w•yw•x> |
<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1111.1011 |
<<w•z>w•y<w•x>> |
w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1111.1101 |
<<w•z><w•y>w•x> |
<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1111.1110 |
<<w•z><w•y><w•x>> |
w•x⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1000.1000 |
12 |
w•yw•x |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<x•y> |
1010.0000 |
w•zw•x |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕<x•z> |
|
1100.0000 |
w•zw•y |
<<>>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<y•z> |
|
0010.0010 |
<w•y>w•x |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕x•y |
|
0000.1010 |
<w•z>w•x |
<<>>⊕<w•x>⊕w•z⊕x•z |
|
0000.1100 |
<w•z>w•y |
<<>>⊕<w•y>⊕w•z⊕y•z |
|
0100.0100 |
w•y<w•x> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕x•y |
|
0101.0000 |
w•z<w•x> |
<<>>⊕w•x⊕<w•z>⊕x•z |
|
0011.0000 |
w•z<w•y> |
<<>>⊕w•y⊕<w•z>⊕y•z |
|
0001.0001 |
<w•y><w•x> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕<x•y> |
|
0000.0101 |
<w•z><w•x> |
<<>>⊕w•x⊕w•z⊕<x•z> |
|
0000.0011 |
<w•z><w•y> |
<<>>⊕w•y⊕w•z⊕<y•z> |
|
1000.0010 |
12 |
w•x<<w•z•w•y>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
1000.0100 |
w•y<<w•z•w•x>> |
<<>>⊕<w•y>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1001.0000 |
w•z<<w•y•w•x>> |
<<>>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<w•x•y•z> |
|
0100.0001 |
<w•x><<w•z•w•y>> |
<<>>⊕w•x⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
0010.0001 |
<w•y><<w•z•w•x>> |
<<>>⊕w•y⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0000.1001 |
<w•z><<w•y•w•x>> |
<<>>⊕w•z⊕<x•y>⊕w•x•y•z |
|
0010.1000 |
w•x<w•z•w•y> |
<<>>⊕<w•x>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0100.1000 |
w•y<w•z•w•x> |
<<>>⊕<w•y>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0110.0000 |
w•z<w•y•w•x> |
<<>>⊕<w•z>⊕x•y⊕w•x•y•z |
|
0001.0100 |
<w•x><w•z•w•y> |
<<>>⊕w•x⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0001.0010 |
<w•y><w•z•w•x> |
<<>>⊕w•y⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0000.0110 |
<w•z><w•y•w•x> |
<<>>⊕w•z⊕x•y⊕<w•x•y•z> |
|
0001.1000 |
4 |
<w•z•w•x><w•z•w•y> |
<<>>⊕<x•y>⊕x•z⊕y•z |
0010.0100 |
<<w•z•w•x>><w•z•w•y> |
<<>>⊕x•y⊕<x•z>⊕y•z |
|
0100.0010 |
<w•z•w•x><<w•z•w•y>> |
<<>>⊕x•y⊕x•z⊕<y•z> |
|
1000.0001 |
<<w•z•w•x>><<w•z•w•y>> |
<<>>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<y•z> |
|
0111.0111 |
12 |
<w•yw•x> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕x•y |
0101.1111 |
<w•zw•x> |
<>⊕w•x⊕w•z⊕x•z |
|
0011.1111 |
<w•zw•y> |
<>⊕w•z⊕w•y⊕y•z |
|
1101.1101 |
<<w•y>w•x> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕<x•y> |
|
1111.0101 |
<<w•z>w•x> |
<>⊕w•x⊕<w•z>⊕<x•z> |
|
1111.0011 |
<<w•z>w•y> |
<>⊕w•y⊕<w•z>⊕<y•z> |
|
1011.1011 |
<w•y<w•x>> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕<x•y> |
|
1010.1111 |
<w•z<w•x>> |
<>⊕<w•x>⊕w•z⊕<x•z> |
|
1100.1111 |
<w•z<w•y>> |
<>⊕<w•y>⊕w•z⊕<y•z> |
|
1110.1110 |
<<w•y><w•x>> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕x•y |
|
1111.1010 |
<<w•z><w•x>> |
<>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕x•z |
|
1111.1100 |
<<w•z><w•y>> |
<>⊕<w•z>⊕<w•y>⊕y•z |
|
0111.1101 |
12 |
<w•x<<w•z•w•y>>> |
<>⊕w•x⊕y•z⊕w•x•y•z |
0111.1011 |
<w•y<<w•z•w•x>>> |
<>⊕w•y⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0110.1111 |
<w•z<<w•y•w•x>>> |
<>⊕w•z⊕x•y⊕w•x•y•z |
|
1011.1110 |
<<w•x><<w•z•w•y>>> |
<>⊕<w•x>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1101.1110 |
<<w•y><<w•z•w•x>>> |
<>⊕<w•y>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1111.0110 |
<<w•z><<w•y•w•x>>> |
<>⊕<w•z>⊕x•y⊕<w•x•y•z> |
|
1101.0111 |
<w•x<w•z•w•y>> |
<>⊕w•x⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1011.0111 |
<w•y<w•z•w•x>> |
<>⊕w•y⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1001.1111 |
<w•z<w•y•w•x>> |
<>⊕w•z⊕<x•y>⊕<w•x•y•z> |
|
1110.1011 |
<<w•x><w•z•w•y>> |
<>⊕<w•x>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1110.1101 |
<<w•y><w•z•w•x>> |
<>⊕<w•y>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1111.1001 |
<<w•z><w•y•w•x>> |
<>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕w•x•y•z |
|
1110.0111 |
4 |
<<w•z•w•x><w•z•w•y>> |
<>⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z> |
1101.1011 |
<<<w•z•w•x>><w•z•w•y>> |
<>⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z> |
|
1011.1101 |
<<w•z•w•x><<w•z•w•y>>> |
<>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z |
|
0111.1110 |
<<<w•z•w•x>><<w•z•w•y>>> |
<>⊕x•y⊕x•z⊕y•z |
|
0010.1010 |
48 |
w•x<w•zw•y> |
<>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
1000.1010 |
w•x<w•z<w•y>> |
<>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1010.0010 |
w•x<<w•z>w•y> |
<>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1010.1000 |
w•x<<w•z><w•y>> |
<>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0001.0101 |
<w•x><w•zw•y> |
<>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0100.0101 |
<w•x><w•z<w•y>> |
<>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0101.0001 |
<w•x><<w•z>w•y> |
<>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0101.0100 |
<w•x><<w•z><w•y>> |
<>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0100.1100 |
w•y<w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1000.1100 |
w•y<w•z<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1100.0100 |
w•y<<w•z>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1100.1000 |
w•y<<w•z><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0001.0011 |
<w•y><w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0010.0011 |
<w•y><w•z<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0011.0001 |
<w•y><<w•z>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0011.0010 |
<w•y><<w•z><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0111.0000 |
w•z<w•yw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1011.0000 |
w•z<w•y<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1101.0000 |
w•z<<w•y>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1110.0000 |
w•z<<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0000.0111 |
<w•z><w•yw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0000.1011 |
<w•z><w•y<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕x•y⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0000.1101 |
<w•z><<w•y>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0000.1110 |
<w•z><<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0001.1001 |
<<w•y•w•x>><w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<y•z>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1000.1001 |
<<w•y•w•x>><w•z<w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕y•z⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1001.0001 |
<<w•y•w•x>><<w•z>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕y•z⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1001.1000 |
<<w•y•w•x>><<w•z><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<y•z>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0100.0110 |
<w•y•w•x><w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕y•z⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0010.0110 |
<w•y•w•x><w•z<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<y•z>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0110.0100 |
<w•y•w•x><<w•z>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<y•z>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0110.0010 |
<w•y•w•x><<w•z><w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕y•z⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0010.0101 |
<<w•z•w•x>><w•yw•z> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1010.0001 |
<<w•z•w•x>><w•y<w•z>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1000.0101 |
<<w•z•w•x>><<w•y>w•z> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1010.0100 |
<<w•z•w•x>><<w•y><w•z>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
0001.1010 |
<w•z•w•x><w•yw•z> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
0101.0010 |
<w•z•w•x><w•y<w•z>> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0100.1010 |
<w•z•w•x><<w•y>w•z> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0101.1000 |
<w•z•w•x><<w•y><w•z>> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0100.0011 |
<<w•z•w•y>><w•yw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1000.0011 |
<<w•z•w•y>><w•y<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1100.0001 |
<<w•z•w•y>><<w•y>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1100.0010 |
<<w•z•w•y>><<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0011.0100 |
<w•z•w•y><w•yw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0011.1000 |
<w•z•w•y><w•y<w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0001.1100 |
<w•z•w•y><<w•y>w•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0010.1100 |
<w•z•w•y><<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1001.0100 |
8 |
<<w•z•w•y•w•x>><<w•z><w•y>> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z |
1001.0010 |
<<w•z•w•y•w•x>><<w•z><w•x>> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕<x•z> |
|
1000.0110 |
<<w•z•w•y•w•x>><<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z |
|
0001.0110 |
<<w•z•w•y•w•x>><w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z> |
|
0110.1000 |
<w•z•w•y•w•x><<w•y><w•x>> |
<>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<x•z> |
|
0110.0001 |
<w•z•w•y•w•x><w•yw•x> |
<>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕x•z |
|
0100.1001 |
<w•z•w•y•w•x><w•zw•x> |
<>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕<x•z> |
|
0010.1001 |
<w•z•w•y•w•x><w•zw•y> |
<>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕x•z |
|
1101.0101 |
48 |
<w•x<w•zw•y>> |
<<>>⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x•y•z |
0111.0101 |
<w•x<w•z<w•y>>> |
<<>>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0101.1101 |
<w•x<<w•z>w•y>> |
<<>>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0101.0111 |
<w•x<<w•z><w•y>>> |
<<>>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1110.1010 |
<<w•x><w•zw•y>> |
<<>>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1011.1010 |
<<w•x><w•z<w•y>>> |
<<>>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1010.1110 |
<<w•x><<w•z>w•y>> |
<<>>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1010.1011 |
<<w•x><<w•z><w•y>>> |
<<>>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1011.0011 |
<w•y<w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•z⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0111.0011 |
<w•y<w•z<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0011.1011 |
<w•y<<w•z>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•z>⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0011.0111 |
<w•y<<w•z><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕<x•y>x•z⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1110.1100 |
<<w•y><w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•z⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1101.1100 |
<<w•y><w•z<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•z⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1100.1110 |
<<w•y><<w•z>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1100.1101 |
<<w•y><<w•z><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1000.1111 |
<w•z<w•yw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0100.1111 |
<w•z<w•y<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0010.1111 |
<w•z<<w•y>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0001.1111 |
<w•z<<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1111.1000 |
<<w•z><w•yw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1111.0100 |
<<w•z><w•y<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1111.0010 |
<<w•z><<w•y>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1111.0001 |
<<w•z><<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕x•y⊕x•z⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1110.0110 |
<<<w•y•w•x>><w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕x•z⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0111.0110 |
<<<w•y•w•x>><w•z<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•z>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
0110.1110 |
<<<w•y•w•x>><<w•z>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0110.0111 |
<<<w•y•w•x>><<w•z><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•z⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1011.1001 |
<<w•y•w•x><w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕x•z⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1101.1001 |
<<w•y•w•x><w•z<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<x•z>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1001.1011 |
<<w•y•w•x><<w•z>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•z>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1001.1101 |
<<w•y•w•x><<w•z><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕x•z⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1101.1010 |
<<<w•z•w•x>><w•yw•z>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0101.1110 |
<<<w•z•w•x>><w•y<w•z>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
0111.1010 |
<<<w•z•w•x>><<w•y>w•z>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0101.1011 |
<<<w•z•w•x>><<w•y><w•z>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1110.0101 |
<<w•z•w•x><w•yw•z>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
1010.1101 |
<<w•z•w•x><w•y<w•z>>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1011.0101 |
<<w•z•w•x><<w•y>w•z>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1010.0111 |
<<w•z•w•x><<w•y><w•z>>>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1011.1100 |
<<<w•z•w•y>><w•yw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0111.1100 |
<<<w•z•w•y>><w•y<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0011.1110 |
<<<w•z•w•y>><<w•y>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
0011.1101 |
<<<w•z•w•y>><<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1100.1011 |
<<w•z•w•y><w•yw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1100.0111 |
<<w•z•w•y><w•y<w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1110.0011 |
<<w•z•w•y><<w•y>w•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
1101.0011 |
<<w•z•w•y><<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1110.1001 |
8 |
<<<w•z•w•y•w•x>><w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕w•z⊕x•y⊕x•z⊕y•z |
0110.1011 |
<<<w•z•w•y•w•x>><<w•z><w•y>>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z |
|
0110.1101 |
<<<w•z•w•y•w•x>><<w•z><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z> |
|
0111.1001 |
<<<w•z•w•y•w•x>><<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z> |
|
1001.0111 |
<<w•z•w•y•w•x><<w•y><w•x>>> |
<<>>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z>⊕x•y⊕x•z⊕y•z |
|
1001.1110 |
<<w•z•w•y•w•x><w•yw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕w•y⊕<w•z>⊕x•y⊕<x•z>⊕<y•z> |
|
1011.0110 |
<<w•z•w•y•w•x><w•zw•x>> |
<<>>⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z⊕<x•y>⊕x•z⊕<y•z> |
|
1101.0110 |
<<w•z•w•y•w•x><w•zw•y>> |
<<>>⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z⊕<x•y>⊕<x•z>⊕y•z |
|
1010.1010 |
1 |
w•x•<<>><<>> |
w•x |
0101.0110 |
4 |
w•x•<w•z><w•y> |
w•x⊕x•y⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
0101.1001 |
w•x•<w•z>w•y |
w•x⊕<x•y>⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
0110.0101 |
w•x•w•z<w•y> |
w•x⊕x•y⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
|
1001.0101 |
w•x•w•zw•y |
w•x⊕<x•y>⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0101.0101 |
1 |
<w•x>•<<>><<>> |
<w•x> |
1010.1001 |
4 |
<w•x>•<w•z><w•y> |
<w•x>⊕<x•y>⊕<x•z>⊕w•x•y•z |
1010.0110 |
<w•x>•<w•z>w•y |
<w•x>⊕x•y⊕<x•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1001.1010 |
<w•x>•w•z<w•y> |
<w•x>⊕<x•y>⊕x•z⊕<w•x•y•z> |
|
0110.1010 |
<w•x>•w•zw•y |
<w•x>⊕x•y⊕x•z⊕w•x•y•z |
|
1100.1100 |
1 |
w•y•<<>><<>> |
w•y |
0011.0110 |
4 |
w•y•<w•z><w•x> |
w•y⊕x•y⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
0011.1001 |
w•y•<w•z>w•x |
w•y⊕<x•y>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0110.0011 |
w•y•w•z<w•x> |
w•y⊕x•y⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1001.0011 |
w•y•w•zw•x |
w•y⊕<x•y>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0011.0011 |
1 |
<w•y>•<<>><<>> |
<w•y> |
1100.1001 |
4 |
<w•y>•<w•z><w•x> |
<w•y>⊕<x•y>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
1100.0110 |
<w•y>•<w•z>w•x |
<w•y>⊕x•y⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1001.1100 |
<w•y>•w•z<w•x> |
<w•y>⊕<x•y>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0110.1100 |
<w•y>•w•zw•x |
<w•y>⊕x•y⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1111.0000 |
1 |
w•z•<<>><<>> |
w•z |
0001.1110 |
4 |
w•z•<w•y><w•x> |
w•z⊕x•z⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
0010.1101 |
w•z•<w•y>w•x |
w•z⊕<x•z>⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
0100.1011 |
w•z•w•y<w•x> |
w•z⊕x•z⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
|
1000.0111 |
w•z•w•yw•x |
w•z⊕<x•z>⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
0000.1111 |
1 |
<w•z>•<<>><<>> |
<w•z> |
1110.0001 |
4 |
<w•z>•<w•y><w•x> |
<w•z>⊕<x•z>⊕<y•z>⊕w•x•y•z |
1101.0010 |
<w•z>•<w•y>w•x |
<w•z>⊕x•z⊕<y•z>⊕<w•x•y•z> |
|
1011.0100 |
<w•z>•w•y<w•x> |
<w•z>⊕<x•z>⊕y•z⊕<w•x•y•z> |
|
0111.1000 |
<w•z>•w•yw•x |
<w•z>⊕x•z⊕y•z⊕w•x•y•z |
|
1001.1001 |
1 |
<<w•y•w•x>>•<<>><<>> |
x•y |
1110.0010 |
4 |
<<w•y•w•x>>•w•y<<w•z•w•x>> |
x•y⊕<w•x>⊕<w•z>⊕<y•z> |
0010.1110 |
<<w•y•w•x>>•w•y<w•z•w•x> |
x•y⊕<w•x>⊕w•z⊕y•z |
|
1110.0100 |
<<w•y•w•x>>•w•x<<w•z•w•y>> |
x•y⊕<w•y>⊕<w•z>⊕<x•z> |
|
0100.1110 |
<<w•y•w•x>>•w•x<w•z•w•y> |
x•y⊕<w•y>⊕w•z⊕x•z |
|
0110.0110 |
1 |
<w•y•w•x>•<<>><<>> |
<x•y> |
0001.1101 |
4 |
<w•y•w•x>•w•y<<w•z•w•x>> |
<x•y>⊕w•x⊕w•z⊕y•z |
1101.0001 |
<w•y•w•x>•w•y<w•z•w•x> |
<x•y>⊕w•x⊕<w•z>⊕<y•z> |
|
0001.1011 |
<w•y•w•x>•w•x<<w•z•w•y>> |
<x•y>⊕w•y⊕w•z⊕x•z |
|
1011.0001 |
<w•y•w•x>•w•x<w•z•w•y> |
<x•y>⊕w•y⊕<w•z>⊕<x•z> |
|
1010.0101 |
1 |
<<w•z•w•x>>•<<>><<>> |
x•z |
1100.1010 |
4 |
<<w•z•w•x>>•w•z<<w•y•w•x>> |
x•z⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<y•z> |
0011.1010 |
<<w•z•w•x>>•w•z<w•y•w•x> |
x•z⊕<w•x>⊕w•y⊕y•z |
|
1101.1000 |
<<w•z•w•x>>•w•x<<w•z•w•y>> |
x•z⊕<w•z>⊕<w•y>⊕<x•y> |
|
0111.0010 |
<<w•z•w•x>>•w•x<w•z•w•y> |
x•z⊕<w•z>⊕w•y⊕x•y |
|
0101.1010 |
1 |
<w•z•w•x>•<<>><<>> |
<x•z> |
0011.0101 |
4 |
<w•z•w•x>•w•z<<w•y•w•x>> |
<x•z>⊕w•x⊕w•y⊕y•z |
1100.0101 |
<w•z•w•x>•<<w•z>><w•y•w•x> |
<x•z>⊕w•x⊕<w•y>⊕<y•z> |
|
0010.0111 |
<w•z•w•x>•w•x<<w•z•w•y>> |
<x•z>⊕w•z⊕w•y⊕x•y |
|
1000.1101 |
<w•z•w•x>•<<w•x>><w•z•w•y> |
<x•z>⊕w•z⊕<w•y>⊕<x•y> |
|
1100.0011 |
1 |
<<w•z•w•y>>•<<>><<>> |
y•z |
1010.1100 |
4 |
<<w•z•w•y>>•w•z<<w•y•w•x>> |
y•z⊕<w•y>⊕<w•x>⊕<x•z> |
0101.1100 |
<<w•z•w•y>>•w•z<w•y•w•x> |
y•z⊕<w•y>⊕w•x⊕x•z |
|
1011.1000 |
<<w•z•w•y>>•w•y<<w•z•w•x>> |
y•z⊕<w•z>⊕<w•x>⊕<x•y> |
|
0111.0100 |
<<w•z•w•y>>•w•y<w•z•w•x> |
y•z⊕<w•z>⊕w•x⊕x•y |
|
0011.1100 |
1 |
<w•z•w•y>•<<>><<>> |
<y•z> |
0101.0011 |
4 |
<w•z•w•y>•w•z<<w•y•w•x>> |
<y•z>⊕w•y⊕w•x⊕x•z |
1010.0011 |
<w•z•w•y>•w•z<w•y•w•x> |
<y•z>⊕w•y⊕<w•x>⊕<x•z> |
|
0100.0111 |
<w•z•w•y>•w•y<<w•z•w•x>> |
<y•z>⊕w•z⊕w•x⊕x•y |
|
1000.1011 |
<w•z•w•y>•w•y<w•z•w•x> |
<y•z>⊕w•z⊕<w•x>⊕<x•y> |
|
1001.0110 |
1 |
<<w•z•w•y•w•x>>•<<>><<>> |
w•x•y•z |
1110.1000 |
4 |
<<w•z•w•y•w•x>>•<<<<w•z•w•x>><<w•z•w•y>>>> |
w•x•y•z⊕<w•x>⊕<w•y>⊕<w•z> |
0010.1011 |
<<w•z•w•y•w•x>>•<w•z•w•x>w•z•w•y |
w•x•y•z⊕<w•x>⊕w•y⊕w•z |
|
0100.1101 |
<<w•z•w•y•w•x>>•<w•z•w•y>w•z•w•x |
w•x•y•z⊕w•x⊕<w•y>⊕w•z |
|
0111.0001 |
<<w•z•w•y•w•x>>•<w•z•w•y><w•z•w•x> |
w•x•y•z⊕w•x⊕w•y⊕<w•z> |
|
0110.1001 |
1 |
<w•z•w•y•w•x>•<<>><<>> |
<w•x•y•z> |
0001.0111 |
4 |
<w•z•w•y•w•x>•<<<<w•z•w•x>><<w•z•w•y>>>> |
<w•x•y•z>⊕w•x⊕w•y⊕w•z |
1101.0100 |
<w•z•w•y•w•x>•<w•z•w•x>w•z•w•y |
<w•x•y•z>⊕w•x⊕<w•y>⊕<w•z> |
|
1011.0010 |
<w•z•w•y•w•x>•<w•z•w•y><<w•z•w•x>> |
<w•x•y•z>⊕<w•x>⊕w•y⊕<w•z> |
|
1000.1110 |
<w•z•w•y•w•x>•<w•z•w•y><w•z•w•x> |
<w•x•y•z>⊕<w•x>⊕<w•y>⊕w•z |