Werk-in-uitvoering dat ik begonnen was met Donald Leenknegt. Deze uitwerking is gestopt bij zijn overlijden maar de inbreng van Donald is goed te herkennen.
Met het 3&1-patroon in een som van vier haakvectoren benoemen we een som van vier welgevormde haakuitdrukkingen met 3 elementen met een bepaalde signatuur versus 1 element met de ingebedde signatuur. Het is het meest universele patroon in een haakruimte met n onderscheidingen. Hoe hoger de waarde van n, hoe sterker en veelvuldiger dit patroon is terug te vinden. Uit dit patroon zullen we alle eigenschappen van een haakruimte kunnen afleiden, onder andere ook de voorwaarde om zelfduale en andersduale haakuitdrukkingen te kunnen herkennen.
Om dit onderzoek uit te voeren kiezen we voor de basisvorm s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>, waarbij s, p, q en r door gelijk welke welgevormde haakuitdrukking (inclusief <> en <<>>) kunnen gesubstitueerd worden om een welbepaalde haakuitdrukking met 3&1-patroon te zien ontstaan.
Als we de volgorde van de termen behouden kunnen we opmerken dat er vier varianten bestaan van deze uitdrukking, die daarin van elkaar verschillen dat er ten opzichte van elkaar steeds twee van de vier producten een andere signatuur hebben. We lijsten ze op en geven ze een naam met de symbolische korte notering aan de hand van de niet-ingebedde of de enige ingebedde factor:
s•q⊕<r•p> ⊕<r•q>⊕ <s•p> ∼ _s•q (1a)
<s•q>⊕r•p ⊕<r•q>⊕ <s•p> ∼ _r•p (1b)
<s•q>⊕<r•p> ⊕r•q⊕ <s•p> ∼ _r•q (1c)
<s•q>⊕<r•p> ⊕<r•q>⊕ s•p ∼ _s•p (1d)
De inbeddingen zijn dan:
<s•q>⊕r•p⊕r•q⊕s•p ∼ _<s•q> (2a)
s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕s•p ∼ _<r•p> (2b)
s•q⊕r•p⊕<r•q>⊕s•p ∼ _<r•q> (2c)
s•q⊕r•p⊕r•q⊕<s•p> ∼ _<s•p> (2d)
We merken nu op dat dit dan ook in de omgekeerde richting opgaat:
_s•q⊕_<r•p>⊕_<r•q>⊕_<s•p> ∼ s•q (3a)
_<s•q>⊕_r•p⊕_<r•q>⊕_<s•p> ∼ r•p (3b)
_<s•q>⊕_<r•p>⊕_r•q ⊕_<s•p> ∼ r•q (3c)
_<s•q>⊕_<r•p>⊕_<r•q>⊕_s•p ∼ s•p (3d)
en analoog voor de inbeddingen.
Hieruit volgt dan ook dat:
s•q⊕ r•p ⊕ r•q⊕ s•p ∼ _s•q⊕ _r•p⊕ _r•q⊕ _s•p (4)
We merken hierbij op dat we met de _s•q, _r•p, enz... kunnen rekenen in het haakformalisme zonder dat we bekommerd moeten zijn om hun onderliggende voorstelling als vectorsom: het zijn gewone welgevormde haakuitdrukkingen zonder dat een som gedefinieerd zou zijn. Ze gedragen zich zoals de welgevormde haakuitdrukkingen in de fundamentele uitwerking van het haakformalisme en zijn daarom de uitdrukking van een relatie die daar veel moeilijker ontdekt had kunnen worden.
Indien we s, p, q, r vervangen door <s>, <p>, <q>, <r>dan geeft dit aanleiding tot een identieke omzetting: we passen toe op (1a):
<s>•<q> ⊕ <<r>•<p>> ⊕ <<r>•<q>> ⊕ <<s>•<p>>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼_s•q
Indien we s, p, q, r vervangen door <s>, p, q, <r> of door s, <p>, <q>, r dan wordt de inbedding tussen(1abcd) en (2abcd)wel uitgevoerd. We passen toe op (1a)of _s•q :
<s>•q ⊕ <<r>•p> ⊕ <<r>•q> ⊕ <<s>•p>∼ <s•q>⊕r•p ⊕r•q⊕ s•p∼_<s•q>
s•<q> ⊕ <r•<p>> ⊕ <r•<q>> ⊕ <s•<p>>∼ <s•q>⊕r•p ⊕r•q⊕ s•p∼_<s•q>
Dit zal niet het geval zijn met elk ander mogelijk koppel, bv. s, <p>, q, <r> :
s•q ⊕ <<r>•<p>> ⊕ <<r>•q> ⊕ <s•<p>>∼s•q ⊕<r•p>⊕ r•q⊕s•p ∼_<r•p>
en_<r•p>is niet de inbedding van_s•q.
De twee mogelijkheden<s>, p, q, <r> en s, <p>, <q>, r geven dus aanleiding tot een involutie op drie manieren:
<s>, p, q, <r> en <s>, p, q, <r> geeft opnieuw _s•q
<s>, p, q, <r> en s, <p>, <q>, r geeft opnieuw _s•q
s, <p>, <q>, r en s, <p>, <q>, r geeft opnieuw _s•q
We tonen aan met de middelste. We hebben dus eerst, zoals hierboven:
<s>•q ⊕ <<r>•p> ⊕ <<r>•q> ⊕ <<s>•p>∼ <s•q>⊕r•p ⊕r•q⊕ s•p∼_<s•q>
en dan:<s•<q>>⊕ r•<p>⊕r•<q> ⊕s•<p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼_s•q
(Het is meteen aan te tonen dat s, <p>, q, <r> en<s>, p, <q>, r ook een involutie zullen vormen, maar voor-lopig zien we daar geen directe toepassing van, maar de kans zit er in dat dit verderop een zinnige aanpak blijkt te zijn.)
Het besluit is wel dat inbedding van de _s•q uitdrukking altijd samengaat met het inbedden van 2 van de 4 elementen uit de reeks s, p, q, r. En dat twee dergelijke complementaire inbeddingen altijd een involutie zullen vormen.
We zien dat (s•q)•(<r•p>)•(<r•q>)•(<s•p>) ∼ (s•<s>)•(q•<q>)•(p•<p>)•(r•r) ∼ <>•<>•<>•<<>> ∼ <>
en (<s•q>)•(r•p)•(r•q)•(s•p) ∼ (<s>•s)•(q•<q>)•(<p>•p)•(<r>•<r>) ∼ <>•<>•<>•<<>> ∼ <>
Dit geldt dus zowel voor de normale uitdrukking _s•q als voor de inbedding _<s•q>.
de eerste 4 de producten opleveren die niet voorkomen in de vier 3&1-uitdrukkingen:
(_s•q)•(_r•q)= (_r•p)•(_s•p)=r•s (6a)
(_s•q)•(_s•p)= (_r•p)•(_r•q)= p•q (6b)
en dan zijn er ook nog 2 die een belangrijk resultaat geven:
(_s•q)•(_r•p)= (_r•q)•(_s•p)= s•p•q•r (6c)
We zullen later zien dat s•p•q•r in welbepaalde omstandigheden en voorwaarden een constante is.
Het zal verderop wel opvallen dat zowel de (1abcd) als hun inbeddingen (2abcd) hun rol spelen, zodat we in dit geval de inbeddingen zomaar niet terzijde kunnen laten.
Op de vraag wat het verband is tussen de (1abcd) en hun inbeddingen (2abcd), zullen we in paragraaf 2 dieper ingaan, nadat we een voldoend aantal voorbeelden hebben verwerkt.
1. De s, p, q en r – elementen van een haakuitdrukking verder ontrafeld.
De voor de hand liggende vraag is nu of het mogelijk is om op een eenvoudige wijze de s, p, q en r – elementen te vinden die overeenstemmen met een gegeven, willekeurige haakuitdrukking.
We hebben onze eerste stapjes in deze problematiek gezet door dit “te berekenen” voor de haakuitdrukking ab, waarmee we dus zijn afgestapt van de trial and error aanpak in het begin van deze exploratie. Als gevolg van wat we pas laterop in de exploratie hebben begrepen doen we dit ook steeds parallel met het orthogonale haak-element a<b>, hetgeen dan tot het belangrijk inzicht leidt dat de (1abcd) en hun inbeddingen (2abcd) niet alleen toegang geven tot de gewone eigenschappen als inbedding, toevoeging en dualiteit, maar ook meteen tot de eigenschap orthogonaliteit.
Vertrekpunt is dat we steeds de 3&1-structuur van de (1abcd) en hun inbeddingen (2abcd) kunnen in overeenstemming brengen met de 3&1-structuur van elke haakuitdrukking. Dit lijkt zeer triviaal, maar we zullen later zien dat dit een belangrijk element vormt in het probleem van de vele mogelijke oplossingen. We leggen dus een structurele verbinding (d.w.z. dat we hiernaar moeten verwijzen indien we s, p, q, r – stellen gebruiken) tussen:
<<>>⊕ <a>⊕ <b>⊕ <a•b> ab
s•q⊕ <r•p>⊕ <r•q>⊕ <s•p> _s•q
als nu a = r•pen b = r•qdan a•b=p•q=s•pof dusq = s
en danr = a•p = b•szodat r•r = (a•b)•(s•p)= (a•b)•(a•b) en dusr∼a•b
enp∼b(uit a•b = a•p) ens = q = a(uita•b = b•s)
(Dit is een soort standaardafleiding die vele malen zal gebruikt worden. Misschien kan het korter en efficiënter, maar ik heb er niet zo direct een gevonden)
De aldus gevonden oplossing is:s =a,p=b , q= a,r= a•b mets•p•q•r∼a
(Waarom we de volgende keuze maken zal laterop wel duidelijk worden)
<<>>⊕ <a>⊕ b⊕ a•b a<b>
s•q⊕ <r•p>⊕ r•q⊕ s•p _<r•p>
als nu a = r•pen b = r•qdan a•b=p•q=s•pof dusq = s
en danr = a•p = b•szodat r•r = (a•b)•(s•p)= (a•b)•(a•b) en dusr∼a•b
enp∼b(uit a•b = a•p) ens = q = a(uita•b = b•s)
De oplossing is opnieuw:s= a,p=b, q= a,r= a•b mets•p•q•r∼a
Laten we maar meteen een symbolische voorstelling invoeren die ons het nodige typwerk moet besparen en die tegelijk een eenvoudige en duidelijke weergave is van al de samenhorende elementen. We gaan er daarbij van uit dat we voor des, p, q en r – elementen een vaste volgorde bij conventie afspreken. Dit wordt dan “s p q r”
daar in de praktijk blijkt dat dit goed overeenstemt met allerlei verwissellingen en dergelijke die we kunnen maken. Het geeft ook de relatie tussen s/r en p/q op een intelligente wijze weer: s – p q – r. Dit maakt dat het ook onnodig wordt om de basisuitdrukking s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> telkens opnieuw aan te geven: als gevolg van een vaste volgorde voor “s, p, q, r” zijn het steeds dezelfde bewerkingen die moeten uitgevoerd worden. Deze poging om dit zo beknopt mogelijk weer te geven gaat dan als volgt:
(s, p, q, r)H∼(a, b, a, a•b)ab voor _s•q
(s, p, q, r)H∼(a, b, a, a•b)a<b> voor _<r•p>
Hiermee drukken we uit dat als we s, p, q, r vervangen door a, b, a, a•b in s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> we dan als som het haakelementab terugvinden en als we s, p, q, r vervangen door a, b, a, a•b ins•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•pwe dan als som het haakelementa<b>terugvinden
Of dus: a•a ⊕ <a•b•b> ⊕ <a•b•a> ⊕ <a•b> ∼ab
en a•a ⊕ <a•b•b> ⊕ a•b•a ⊕ a•b ∼a<b>
Uit wat we hiervoor reeds hebben gesteld weten we nu dat (zowel voor indexab als voor indexa<b> ):
(a, b, a, a•b)ab∼ (a, a•b, a, b)ab∼ (<<>>, a•b, <<>>, b)ab ∼(b, a , b, <<>>)ab ∼(a•b, <<>>, a•b, a)ab
∼(<<>>, b, <<>>, a•b)ab ∼(b, <<>> , b, a)ab∼(a•b, a, a•b, <<>>)ab ∼enz...
waarbij we er moeten aan toevoegen wat we onder andere zonet hebben toegepast dat:
A•(a, b, a, a•b)ab∼ Z•(a, b, a, a•b)ab∼ (a, b, a, a•b)aben idem voor...)a<b>
of een “veelvoud” met een anders-duaal A en/of een zelf-duaal element Z wijzigt het resultaat niet. We kunnen dus ook nog al de producten met de samengestelde anders- en zelf-dualen erbij zetten...
Voor al deze variaties is en blijft het product s•p•q•r ongewijzigd (hier = a).Het is vanzelfsprekend dat s•p•q•r altijd een anders- of zelf-duale vorm zal hebben als s, p, q en r ook anders-duale en/of zelf-duale elementen zijn.
Het is pas laat in deze onderzoekstocht dat het tot ons doorgedrongen is dat “om het even welke willekeurige keuze van vier zelf- of anders-duale elementen voor s, p, q en r een correcte/bruikbare/welgevormde oplossing zal opleveren”, of met andere woorden leidt tot een welgevormde haakuitdrukking.
Hierbij is onder verstaan dat we zelf-dualen en anders-dualen in de verhouding 3&1 moeten kiezen. Indien we dat niet doen en als enige andere mogelijkheid ze kiezen in de verhouding (2 + 2) dan is het resultaat altijd terug een zelf-duaal of een anders-duaal (meestal samengesteld).
Om systematisch stap voor stap verder te gaan zullen we nu eerst<a><b>, <ab>en <<a><b>> onder de loep nemen: dat kan op steeds korter en duidelijker wijze. We “berekenen” nog alijd de benodigde elementen, daar we voorlopig niet over een andere gegarandeerd correcte aanpak beschikken.
<<>>⊕ a⊕ b⊕ <a•b> <a><b>
s•q⊕ <r•p>⊕ <r•q>⊕ <s•p> _s•q
als <a> = r•pen <b> = r•q dana•b=p•q=s•p of dusq = sen duss•q = <<>>
en danr = <a•p> = <b•s> zodat r•r = (a•p)•(b•s) = (a•b)•(s•p) = (a•b)•(a•b)en dusr∼ a•b, zodata ∼ <a•b•p> enb = <a•b•q>of dus p∼<b>enq=s = <a>zodat dus:
(s, p, q, r)H∼(<a>, <b>, <a>, a•b)<a><b>
Voor de twee inbeddingen is het dan in principe heel eenvoudig, maar toch willen we zeker spelen dat de bere-kende en de theoretische versie met elkaar samenvallen. Zoveel is onzeker gebleken in het onderzoeken van deze materie dat we ons geen onduidelijkhedenkunnen veroorloven:
<>⊕ a⊕ b⊕ a•b <ab>
s•q⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> _s•q
als a = <r•p>en b = <r•q> dana•b=<s•p>=p•q of dusq = <s>en duss•q = <>
en danr = <a•p> = <b•q> zodat r•r = (a•p)•(b•q) = (a•b)•(p•q) = (a•b)•(a•b)en dusr∼ a•b,
zodat a•b = <a•p> ofp = <b> ena•b = <b•q> of dusq = <a> en s = azodat dus:
(s, p, q, r)H∼(a, <b>, <a>, a•b)<ab>
We stellen vast dat theorie en praktijk elkaar exact ontmoeten. We stellen ook vast dat er blijkbaar een impli-ciete keuze is om een inbedding te realiseren door p en q in te bedden: we zullen zien of dat verderop ook stand houdt. En dan ook nog voor de tweede inbedding:
<>⊕ <a>⊕<b> ⊕a•b <<a><b>>
s•q⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> _s•q
als a = r•pen b = r•qdan a•b=<s•p>=p•q of dusq = <s>en duss•q = <>
en danr = a•p = b•qzodat r•r = (a•p)•(b•q) = (a•b)•(p•q)= (a•b)•(a•b)en dusr∼ a•b,
zodat a•b = a•p ofp = ben a•b = b•q of dusq = aen s = <a> zodat dus:
(s, p, q, r)H∼(<a>, b, a, a•b)<<a><b>>
Ook dit is dus weer consistent met wat we hiervoor hebben gesteld:p en q worden ingebed om deze inbedding te realiseren. We zetten nu deze vier resultaten voor _s•q naast elkaar zodat we duidelijker zien wat we in huis hebben:
(a, b, a, a•b)ab (a, <b>, <a>, a•b)<ab>
(<a>, <b>, <a>, a•b)<a><b> (<a>, b, a, a•b)<<a><b>> (7a)
We nemen nu<a>b, <a<b>> en <<a>b> onder de loep: we berekenen de eerste en de inbeddingen volgen dan zo:
<<>>⊕ a⊕ <b>⊕ a•b <a>b
s•q⊕ <r•p>⊕ r•q⊕ s•p _<r•p>
als a = <r•p>en b = <r•q> dana•b=s•p=p•q of dusq = s
en danr = <a•p> = <b•q> zodat r•r = (a•b)•(p•q)= (a•b)•(a•b) en dusr∼a•b,
zodat a•b = <a•p> ofp = <b> ena•b = <b•q> of dusq = <a> en s = <a>zodat dus:
(s, p, q, r)H∼(<a>, <b>, <a>, a•b)<a>b
zodat nu ook:
<>⊕ a⊕ <b>⊕ <a•b> <a<b>>
s•q⊕ <r•p>⊕ r•q⊕ s•p _<r•p>
en
(s, p, q, r)H∼(a, <b>, <a>, a•b)<a<b>>
<>⊕ <a>⊕ b⊕ <a•b> <<a>b>
s•q⊕ <r•p>⊕ r•q⊕ s•p _<r•p>
en
(s, p, q, r)H∼ (<a>, b, a, a•b)<<a>b>
We zetten nu deze vier resultaten voor _<r•p> naast elkaar zodat we duidelijker zien wat we in huis hebben:
(a, b, a, a•b)a<b> (a, <b>, <a>, a•b)<a<b>
(<a>, <b>, <a>, a•b)<a>b (<a>, b, a, a•b)<<a>b> (7b)
We zien hoe het 3&1-patroon hier aan het werk is:
- om een toevoeging te realiseren worden er 3 ingebed en blijft er 1 constant
- om een dualiteit te realiseren worden er 1 ingebed en blijven er 3 consant
- om een inbedding te realiseren worden er 2 ingebed en blijven er 2 constant
- er zijn in deze gevallen steeds 3 zelf-duale en 1 anders-duaal element aanwezig (8)
En het belangrijkste is dat _s•qen _<r•p> met dezelfde (s, p, q, r)H- stellen met elkaar orthogonale elementen doen ontstaan. Hieruit moet dan volgen dat orthogonale stellen (s, p, q, r)Hvoor _s•qen _<r•p> met eenzelfde haakuitdrukking moeten overeenstemmen. En inderdaad:
ab met_s•q stemt overeen met(a, b, a, a•b)
ab met_<r•p> stemt overeen met(<a>, b, <a>, a•b)
a<b>met _s•q stemt overeen met(<a>, b, <a>, a•b)
a<b>met _<r•p> stemt overeen met(a, b, a, a•b)
Hieruit besluiten we dat(s, p, q, r) en(<s>, p, <q>, r)voor dezelfde omzettings-uitdrukking, (bv. _s•q)met twee orthogonale haakelementen zullen overeenstemmen. Idem voor (s, p, q, r) en (s, <p>, q, <r>).
Dat wil zeggen dat(<s>, p, <q>, r)en(s, <p>, q, <r>)samen een echte orthogonale involutie vormen.
Het is niet de eerste maal dat we in Kornalijn te maken krijgen met een stel van 4 uitdrukkingen die op een zeer duidelijke wijze een eenheid of een viertal of een quartet vormen. Het is dus zeer waarschijnlijk dat we ook nu weer 4 vergelijkingen hebben die in de bekende relatie: normaal, toegevoegde, en hun inbeddingen ten opzichte van elkaar staan. Het kon ons dan ook niet ontgaan dat het inderdaad op een zeer zuivere manier mogelijk is om op die wijze tweemaal een viergroep te vormen met een mix van de (1abcd)-uitdrukkingen en hun inbeddingen (2abcd). En dan als extra blijken deze twee viergroepen orthogonaal te zijn met elkaar!
We werken dit nu achtereenvolgens op drie manieren uit en presenteren het op een wijze, waarbij we zo dicht als mogelijk kunnen komen bij de onderlinge relaties tussen al deze gegevens.We verwijzen naar de uitgewerkte voorbeelden in (7a) en (7b) :
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt totabvoor(a, b, a, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<ab>voor(a, b, a, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tot<a><b>voor (a, b, a, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot <<a><b>>voor (a, b, a, a•b)
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tota<b>voor(<a>, b, <a>, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a<b>>voor(<a>, b, <a>, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tot<a>bvoor (<a>, b, <a>, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot <<a>b>voor (<a>, b, <a>, a•b) (9a)
Merk de orthogonaliteit op tussen deze twee viertallen – de s-groepen – en we vinden dit op dezelfde wijze
terug bij de twee r-groepen:
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tota<b>voor (a, b, a, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a<b>> voor(a, b, a, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor (a, b, a, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<<a>b>voor (a, b, a, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt totabvoor(<a>, b, <a>, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<ab>voor (<a>, b, <a>, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a><b> voor(<a>, b, <a>, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<<a><b>> voor(<a>, b, <a>, a•b) (9b)
We herhalen deze wijze van uitdrukken voor de duidelijkheid voor<a><b>, of dus met het toegevoegde haakelement (<a>, <b>, <a>, a•b)<a><b> :
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a><b>voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<<a><b>>voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt totabvoor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<ab>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a>bvoor(a, <b>, a, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<<a>b>voor(a, <b>, a, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tota<b>voor (a, <b>, a, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a<b>>voor (a, <b>, a, a•b) (9c)
De orthogonaliteit tussen deze twee viertallen – de s-groepen – is manifest zoals in het voorafgaande voorbeeld.
En dat vinden we ook nu weer bij de twee r-groepen:
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<<a>b> voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tota<b> voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<a<b>>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a><b> voor(a, <b>, a, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<<a><b>> voor(a, <b>, a, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt totabvoor (a, <b>, a, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<ab>voor(a, <b>, a, a•b) (9d)
We stellen verder vast dat het eerste blok van 16 exemplaren in zijn geheel is “toegevoegd” aan de 16 van het tweede blok, daar voor beide opgaat(s, p, q, r) versus(<s>, <p>, <q>, r), zijnde het kenmerk voor toegevoegd zijn uitgedrukt met een (s, p, q, r)-elementen groep..
De twee extra blokken van 16 elementen die op een analoge wijze worden verwerkt en die alleen maar de inbeddingen weergen laten we nu gemakshalve ter zijde. Dar valt niet iets nieuw mee te ontdekken.
We kunnen deze 2*16 elementen nu ook organiseren op een andere wijze: dus niets nieuws, maar wel extra duidelijkheid hoe dit allemaal in elkaar zit. Als we er van zouden uitgaan dat we de volledige 4*16 hebben uitgewerkt, dan kunnen we die op een dusdanige andere wijze organiseren dat het ons toelaat om een ander aspect duidelijk te zien. Dit gaat dan als volgt:
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt totabvoor(a, b, a, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt totabvoor(a, <b>, <a>, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt totabvoor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt totabvoor(<a>, b, a, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt totabvoor(<a>, b, <a>, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt totabvoor(<a>, <b>, a, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt totabvoor (a, <b>, a, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt totabvoor(a, b, <a>, a•b) (10a)
We zien nu directe orthogonaliteit tussen de s-groep en de r-groep voor een en hetzelfde haakelement. Wat niet anders is voor de twee viergroepen die nu volgen:
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tota<b>voor(<a>, b, <a>, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot a<b>voor(<a>, <b>, a, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tota<b>voor (a, <b>, a, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tota<b>voor(a, b, <a>, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tota<b>voor (a, b, a, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tota<b>voor (a, <b>, <a>, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tota<b>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tota<b>voor (<a>, b, a, a•b) (10b)
En ook nu doen we dat nog eens over voor het toegevoegde haakelement (<a>, <b>, <a>, a•b)<a><b> en laten het weg voor de inbeddingen die er dan toch zo meteen zijn uit af te lezen:
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a><b>voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a><b>voor(<a>, b, a, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tot<a><b>voor (a, b, a, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a><b>voor (a, <b>, <a>, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a><b> voor(a, <b>, a, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a><b> voor(a, b, <a>, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a><b> voor(<a>, b, <a>, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<a><b> voor(<a>, <b>, a, a•b)(10c)
We zien nu nogmaals directe orthogonaliteit tussen de s-groep en de r-groep voor een en hetzelfde haakelement. Wat niet anders is voor de twee viergroepen die nu volgen:
Uitdrukking _s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a>bvoor(a, <b>, a, a•b)
Inbedding _<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor(a, b, <a>, a•b)
Toegevoegde _<s•p>∼s•q⊕ r•p⊕r•q ⊕<s•p> leidt tot<a>bvoor (<a>, b, <a>, a•b)
Duaal _s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor(<a>, <b>, a, a•b)
Uitdrukking _<r•p>∼ s•q ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor (<a>, <b>, <a>, a•b)
Inbedding _r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> leidt tot<a>bvoor (<a>, b, a, a•b)
Toegevoegde _<r•q>∼ s•q ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ s•p leidt tot<a>bvoor (a, b, a, a•b)
Duaal _r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> leidt tot<a>bvoor (a, <b>, <a>, a•b)(10d)
We kunnen dit op dezelfde wijze verderzetten voor de inbeddingen <ab> en <<a><b>>. Daartoe wijzigt er niet zo bijster veel: in 2*16 exemplaren moeten we de overgang (s, p, q, r) naar (s, <p>, <q>, r) maken , hetgeen volstaat.
Ik heb het idee dat we het zo kunnen bekijken dat elke _x•y (_<x•y>) overeenstemt met de genereermogelijkheid voor een parallel (haak)veld van (dezelfde) haakuitdrukkingen, waarbij we hierboven vooral de nadruk hebben gelegd op de “doorsneden” van deze verzamelingen haakuitdrukkingen. We kunnen uit het boven-staande nu ook alles bijeenzoeken wat bij een _x•y hoort. We doen dit opnieuw eerst voor_s•q:
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼abvoor(a, b, a, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a><b> voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼a<b>voor (<a>, b, <a>, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a>bvoor (a, <b>, a, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<ab>voor (a, <b>, <a>, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<<a><b>> voor(<a>, b, a, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a<b>> voor(<a>, <b>, a, a•b)
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<<a>b> voor(a, b, <a>, a•b) (11a)
Als we dit nu vergelijken met de andere:
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼abvoor(<a>, b, a, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼<a><b>voor (a, <b>, <a>, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼a<b>voor(a, b, <a>, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼<a>bvoor(<a>, <b>, a, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼<ab>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼ <<a><b>>voor (a, b, a, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼<a<b>>voor (a, <b>, a, a•b)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼ <<a>b>voor(<a>, b, <a>, a•b) (11b)
en ook:
_r•q ∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼abvoor(a, b, <a>, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<a><b>voor (<a>, <b>, a, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼a<b>voor (<a>, b, a, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<a>bvoor (a, <b>, <a>, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<ab>voor(a, <b>, a, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<<a><b>> voor(<a>, b, <a>, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<a<b>>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼<<a>b>voor (a, b, a, a•b) (11c)
en ook:
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼abvoor(<a>, <b>, a, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a><b>voor (a, b, <a>, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼a<b>voor (a, <b>, <a>, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a>bvoor (<a>, b, a, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<ab>voor (<a>, b, <a>, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<<a><b>> voor(a, <b>, a, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<a<b>>voor (a, b, a, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼<<a>b>voor (<a>, <b>, <a>, a•b)(11d)
en een van de inbeddingen:
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼ab voor(a, <b>, <a>, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<a><b> voor(<a>, b, a, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼a<b>voor (<a>, <b>, a, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<a>bvoor (a, b, <a>, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<ab>voor (a, b, a, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<<a><b>> voor(<a>, <b>, <a>, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<a<b>> voor(<a>, b, <a>, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼<<a>b> voor(a, <b>, a, a•b)
dan kunnen we hier nu een aantal belangrijke gevolgtrekkingen uit maken (die niet zomaar op een eenvoudige wijze zijn weer te geven zonder een beetje medewerking van de lezer!).
We zien dat elke _x•y of _<x•y> zoiets als een volledige “Kornalijnwereld” op zichzelf vormt die in feite alleen maar verschillend is op grond van de verschillende (s, p, q, r) – invoer. Elke _x•y of _<x•y> zal AL de haakelementen in een haakruimte genereren die verschillend zijn van de anders-duale en de zelf-duale in die ruimte (hoe de niveau’s van de tralie daar dan precies in verschijnen weet ik nog niet, maar dat komt wel). Hetgeen dus niet wil zeggen dat ook de anders-duale en zelf-duale niet door een stel (s, p, q, r) zijn voor te stellen. We hebben reeds sporadisch aangegeven en zullen dat verderop nog meer uitwerken dat het 3&1-patroon wegvalt in de samenstelling van de (s, p, q, r) voor deze bijzondere haakelementen en een (2 + 2)- of (4 + 0)-patroon overneemt.
Hoe de elementen in die _x•y ruimte zich tot elkaar verhouden wordt nu meegegeven door de(s, p, q, r)-bezetting, waarbij inbedding de enige functie is die overblijft om dat te genereren!! Van deze functies kunnen we nu eindelijk een definitieve definitie geven en er meteen enkele aan toevoegen (en bedenk hierbij dat het dus om het even is met welke vorm we starten, zoals we dat vroeger ook altijd bij haakelementen hebben gezien):
Toegevoegd zijn wordt dus uitgedrukt door (s, p, q, r) versus (<s>, <p>, <q>, r)
(s, <p>, <q>, r)versus (<s>, p, q, r)enz..
Ingebed zijn wordt dus uitgedrukt door(s, p, q, r) versus(s, <p>, <q>, r)
(<s>, <p>, q, r)versus (<s> , p, <q>, r) enz...
Duaal zijn wordt dan uitgedrukt door (s, p, q, r) versus(<s>, p, q, r)
(s, <p>, <q>, r)versus (<s>, <p>, <q>, r)enz...
waarbij we zien dat dualeren = toevoegen + inbedden
Orthogonaal zijn wordt uitgedrukt door(s, p, q, r) versus(<s>, p, <q>, r)
(<s>, p, q, r) versus(s, p, <q>, r)enz...
Zodat we nu ook functies kunnen invoeren die we nog nooit hebben beschouwd, zoals namelijk het “toegevoegd orthogonale” van een haakelement:
Toegevoegd orthogonaal zijn is dan (s, p, q, r) versus(s, <p>, q, r)
(s, p, <q>, r) versus(s, <p>, <q>, r)
waarbij we zien dat toegevoegd orthogonaal= toevoegen + orthogonaal
Ingebed orthogonaal zijn is dan (s, p, q, r) versus(<s>, <p>, q, r)
(<s>, p, <q>, r) versus(s, <p>, <q>, r)enz...
Als we aan het toegevoegd orthogonaal zijn nog een inbedding toevoegen krijgen we een
Duaal orthogonaal uitgedrukt door (s, p, q, r) versus(s, p, <q>, r)
(s, <p>, <q>, r)versus (s, <p>, q, r),enz.. (12)
waarbij we zien dat het duaal orthogonaal ontstaat uit het toegevoegd orthogonaal door eerst in te bedden.
Met het bovenstaande zien we nu ook hoe al deze parallelle haakruimten onderling dezelfde functies in hun tota-liteit vertonen of dus tegelijk voor al hun elementen. Ik som eerst op op basis van de gegevens waarmee we hierboven hebben gewerkt
_s•qis het duaal van _s•p (duaal= D)
_s•qis het duaal orthogonaal van _r•q (duaal orthogonaal= OD)
_s•qis het ingebed orthogonaal van _r•p (ingebed orthogonaal= IO)
_s•pis het orthogonaal van _r•q (orthogonaal=O)
_s•pis het toegevoegd orthogonaal van _r•p (toegevoegd orthogonaal= TO)
_r•qis het toegevoegde van _r•p (toegevoegde=T) (13)
En we werken die nu concreet uit voor al de relaties tussen de 8 elementen van n = 2:
<a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)is het toegevoegde vanab∼(a, b, a, a•b)
a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b) is het orthogonaal van ab∼ (a, b, a, a•b)
<a>b∼(a, <b>, a, a•b) is het TOvan ab∼(a, b, a, a•b)
<ab>∼(a, <b>, <a>, a•b) is de inbedding van ab∼(a, b, a, a•b)
<<a><b>>∼ (<a>, b, a, a•b) is het duaal van ab∼(a, b, a, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is hetIO van ab∼(a, b, a, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het DO van ab∼(a, b, a, a•b)
a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b) is het TO van <a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<a>b∼(a, <b>, a, a•b) is het orthogonaal van <a><b> ∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<ab>∼(a, <b>, <a>, a•b) is het duaal van <a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<<a><b>>∼ (<a>, b, a, a•b) is de inbedding van <a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is het DO van <a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het IO van <a><b>∼(<a>, <b>, <a>, a•b)
<a>b∼(a, <b>, a, a•b) is het toegevoegde vana<b> ∼(<a>, b, <a>, a•b)
<ab>∼(a, <b>, <a>, a•b) is het IO van a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b)
<<a><b>>∼ (<a>, b, a, a•b) is het DO van a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is de inbedding van a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het duaal van a<b>∼(<a>, b, <a>, a•b)
<ab>∼(a, <b>, <a>, a•b) is het DO van <a>b∼(a, <b>, a, a•b)
<<a><b>>∼ (<a>, b, a, a•b) is het IO van <a>b∼(a, <b>, a, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is hetduaal van <a>b∼(a, <b>, a, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is de inbedding van <a>b∼(a, <b>, a, a•b)
<<a><b>>∼ (<a>, b, a, a•b) is het toegevoegde van <ab> voor(a, <b>, <a>, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is het orthogonaal van<ab> voor(a, <b>, <a>, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het TO van <ab>voor(a, <b>, <a>, a•b)
<a<b>>∼(<a>, <b>, a, a•b) is hetTO van <<a><b>>voor(<a>, b, a, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het orthogonaal van <<a><b>> voor(<a>, b, a, a•b)
<<a>b>∼(a, b, <a>, a•b) is het toegevoegde van <a<b>> voor(<a>, <b>, a, a•b)(14)
(het is meteen duidelijk dat het in de omgekeerde richting op dezelfde wijze werkt)
We kunnen dit nu overbrengen op de _x•y/ _<x•y> haakruimten
_s•q∼s•q ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼abvoor(a, b, a, a•b)
_<s•q>∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ r•q ⊕ s•p ∼abvoor(a, <b>, <a>, a•b)
_r•q∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ r•q ⊕ <s•p> ∼abvoor(a, b, <a>, a•b)
_<r•q> ∼ s•q⊕ r•p⊕<r•q> ⊕s•p ∼abvoor(a, <b>, a, a•b)
_r•p∼<s•q> ⊕ r•p ⊕ <r•q> ⊕ <s•p> ∼abvoor(<a>, <b>, a, a•b)
_<r•p>∼ s•q ⊕<r•p>⊕ r•q⊕s•p ∼ abvoor(<a>, b, <a>, a•b)
_<s•p>∼ s•q ⊕r•p⊕ r•q⊕<s•p> ∼abvoor(<a>, <b>, <a>, ab)
_s•p∼<s•q> ⊕ <r•p> ⊕ <r•q> ⊕ s•p ∼abvoor(<a>, b, a, a•b) (15)
zodat we moeten concluderen dat – nog steeds geïllustreerd met het haakvoorbeeldab :
_<s•p>is een haakruimte die toegevoegd is aan_s•q (<a>, <b>, <a>, ab)versus(a, b, a, a•b)
_<s•q> is een haakruimte die ingebed is t.o.v. _s•q (a, <b>, <a>, a•b)versus(a, b, a, a•b)
_s•pis een haakruimte die duaal is t.o.v._s•q (<a>, b, a, a•b)versus(a, b, a, a•b)
_<r•p> is een haakruimte die orthogonaal met _s•q (<a>, b, <a>, a•b)versus(a, b, a, a•b)
_r•qis een toegevoegd orthogonale haakruimte met_s•q(a, b, <a>, a•b) versus(a, b, a, a•b)
_r•pis een ingebed orthogonale haakruimtemet_s•q (<a>, <b>, a, a•b)versus (a, b, a, a•b)
_r•qis een duaal orthogonale haakruimte met _s•q (a, b, <a>, a•b)versus(a, b, a, a•b) (16)
Het moet nu stilaan wel duidelijk zijn hoe het werkt.We zijn vertrokken van_s•q als beginuitdrukking. Het is duidelijk dat we de gehele afleiding opnieuw zouden kunnen doen door te vertrekken van een willekeurig ander gekozen _x•y of _<x•y>. Vanuit deze keuze _s•q kunnen we dan nog maar eens een reeks andere vertrekpunten kiezen die nu samenhangen met de (s, p, q, r).Als we dus bv. vertrekken van _s•pdan stemtab overeen met(<a>, b, a, a•b)en alle andere eraan verwante haakuitdrukkingen zijn dan hiermee in resonantie en hebben we hierboven reeds aangegeven onder (11b).Het is dan meteen duidelijk dat we dit op dezelfde wijze kunnen aanpakken voor de 7 andere. Het is dan ook duidelijk dat deze resultaten in wezen dezelfde zijn als diegene die we zouden vinden indien we als beginuitdrukking niet_s•q, mar bv _r•p zouden gekozen hebben.
Laatste opmerking voor deze paragraaf:we stellen vast dat der - factor een soort constante rol speelt (altijd gelijk aan a•b) of dat de (s, p, q, r) lijkt opgedeeld te zijn in een 3- en een 1-zone, of dus{(s, p, q) (r)}
Indien we (binnen het kader _s•q) uitzoeken wat dan bv. is:
(a, b, a, <a•b>)dan vinden we met _s•q :a•a ⊕ <b•<a•b>> ⊕ <a•<a•b>> ⊕ <a•b>∼<a><b>
of we bekomen het toegevoegde vanab . Of (<a>, <b>, <a>, a•b)stemt overeen met (a, b, a, <a•b>
Dit is dus een apsect waarvan de betekenis en de werking ons vooralsnog ontgaat en dat we maar zullen probe-ren op te lossen nadat we een aantal andere deelonderwerpen hebben aangepakt. Misschien wordt het dan zelfs vanzelf duidelijk.
Dit linkt deze uitdrukking dan meteen ook aan elke welgevormde haakuitdrukking die mogelijk is, daar elke welgevormde haakuitdrukking in elk haakuniversum kan geschreven worden als een gelijkaardige som:
(<A1> ⊕ A2) ⊕ (Z1 ⊕ Z2) of (A1 ⊕ <A2>) ⊕ (Z1 ⊕ Z2) of (A1 ⊕ A2) ⊕ (<Z1> ⊕ Z2) of (A1 ⊕ A2) ⊕ (Z1 ⊕ <Z2>)
Hierbij geldt dan zonder uitzondering dat:
<A1>•A2•Z1•Z2 ∼A1•<A2>•Z1•Z2 ∼A1•A2•<Z1>•Z2 ∼A1•A2•Z1•<Z2> ∼<> (5)
en dit is eveneens onafhankelijk of we met het haakelement of met zijn inbedding hebben te maken.
Voorbeeld:
voor ab <<>>•<a>•<b>•<a•b> ∼<>
voor <ab> <>•a•b•a•b∼<>
Om transformaties van het 3&1 patroon te onderzoeken kiezen we voor s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>.
Stel s•p=X, s•q=Y, r•p=Z. Hieruit volgt dat p•q=X•Y en dus r•q=p•q•r•p=X•Y•Z. Het product van drie zelfduale haakuitdrukkingen is terug een zelfduale haakuitdrukking. Het product van twee zelfduale haakuitdrukkingen is daarentegen een andersduale haakuitdrukking.
Inderdaad geldt ook voor het uitgangspunt dat s•p•s•q•r•p=r•q. Het product van twee of drie andersduale haakuitdrukkingen is altijd een andersduale haakuitdrukking, zelfs als ze niet met elkaar gerelateerd zijn.
Er geldt dus s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>∼X⊕Y⊕Z⊕<X•Y•Z>.