We zullen nu aantonen dat de relatie van simultaneïteit een partiële orderelatie is en dat de verzameling van alle aandachtspunten een tralie is. We zullen dus aantonen dat de binaire relatie <> (<> gelezen als <<<>>><<>>) reflexief is, antisymmetrisch en transitief.

Reflexief

Wat a ook moge zijn, <a>a heeft de ervaringswaarde <>, <a>a ervaren we.

Bewijs

Er zijn slechts twee mogelijke waarden voor a: a heeft de waarde <> of <<>>.

Veronderstel de waarde <>, dan geldt <a>a ↔ <<>><>, dat gereduceerd kan worden tot <> (eerste axioma)

Veronderstel de waarde <<>>, dan geldt <a>a ↔ <<<>>><<>>, dat gereduceerd kan worden tot <<<>>> (eerste axioma), dat gereduceerd kan worden tot <> (eerste axioma).

Met woorden: wat a ook moge zijn, ik heb altijd de keuzevrijheid tussen a en iets anders dan a.

Dit drukt uit dat <> reflexief is.

Antisymmetrisch

Een relatie tussen twee punten is antisymmetrisch wanneer, als zowel de relatie als de inverse relatie geldig zijn, beide punten identiek zijn. Met andere woorden: wanneer twee aandachtspunten a en b elkaar simultaan in mijn bewustzijn brengen dan zijn ze identiek.

Bewijs

We moeten eerst kunnen uitdrukken dat a en b elkaar simultaan in mijn bewustzijn brengen. We moeten dus eerst onderzoeken hoe keuzevrijheden en simultaneïteit samenhangen.

Wanneer twee aandachtspunten a en b elkaar simultaan in mijn bewustzijn brengen dan zou ik kunnen schrijven:

<a>b

en

<b>a

De "en" moet ik dan natuurlijk juist interpreteren.

Ik kan dit bijvoorbeeld interpreteren als:

<a>b<b>a

Maar dit drukt bijvoorbeeld ook de keuzevrijheid uit tussen <a> en a, die altijd gegeven is, en dit is zeker niet de bedoeling. Simultaneïteit betekent immers dat ik juist niet vrij kan kiezen tussen <a>b en <b>a, en dit betekent dan dat ik de keuzevrijheid heb tussen iets anders dan <a>b en iets anders dan <b>a, of genoteerd:

<<a>b>

en

<<b>a>

Zodanig dat ik het volgende zou kunnen noteren:

<<a>b><<b>a>

Dit drukt een keuzevrijheid uit tussen <<a>b>, <<b>a> en iets. De keuzevrijheid tussen <<a>b> en iets zou hier al voldoende kunnen zijn om een ervaringswaarde <> te bekomen. Nochtans is dit niet de keuzevrijheid die we bedoelen. Wat we bedoelen is de keuzevrijheid tussen een haak (met die interne keuzevrijheid) <<a>b><<b>a> en iets. Dit moeten we dan noteren als <<<a>b><<b>a>> die enkel een ervaringswaarde <> kan hebben als zowel <<a>b> als <<b>a> te vervangen zijn door <<>>, dus <a>b ~ <> als <b>a ~ <>.

Dus de correcte notatie voor a en b die elkaar simultaan in mijn bewustzijn brengen gegeven wordt door: <<<a>b><<b>a>>

We zullen nu de identiteit van a en b aantonen met het opzoeken van de ervaringswaarde voor alle verschillende combinaties van a en b.

We merken nu dat enkel onder voorwaarde dat a en b dezelfde ervaringswaarde hebben dat <<<a>b><<b>a>> de ervaringswaarde <> heeft. Met de combinatie <<<a>b><<b>a>> ~ <> kunnen we dus identiteit uitdrukken en we zullen op deze manier de notatie a = b definiëren.

Dit betekent dat de voorwaarde aan mijn keuzevrijheid (slechts als a in mijn bewustzijn is, is b in mijn bewustzijn) mij niet meer beperkt. Ik kan dus zowel a als b gebruiken, a en b zijn wederzijdse referentiepunten.

Dat, wanneer twee aandachtspunten a en b simultaan zijn met elkaar, dat ze dan identiek moeten zijn, drukt uit dat <> antisymmetrisch is.

Transitief

Wanneer a en b simultaan in mijn bewustzijn zijn, en b en c simultaan in mijn bewustzijn zijn, dan zijn ook a en b, b en c, a en c simultaan in mijn bewustzijn.

Formeel nu:

We moeten uitdrukken dat verschillende aandachtspunten simultaan zijn.

We merken op dat <<p><q>> ↔ <> betekent dat zowel p ↔ <> zowel als q ↔ <>: beide moeten gegeven zijn. Vervangen we hierin p door a<b>, en q door b<c>, dan kunnen we uitdrukken dat zowel a<b> ↔ <> als b<c> ↔ <> door de uitdrukking <<a<b>><b<c>>> ↔ <>.

We willen wijzen op het volgende punt dat niet erg evident is in de klassieke formalismen en waarmee we zelf een lange tijd overhoop lagen: transitiveit betekent dat alle relaties die je beschouwt uitgedrukt worden in de uitdrukking voor de transitiviteit. Dit betekent dan men een nogal complexe "en" moet uitdrukken. In klassieke formalismen wordt transitiviteit incorrect uitgedrukt als "Rxy en Ryz dan Rxz". Formeel betekent dit (de "dan") echter dat er geldt dat Rxy en Ryz en Rxz.

Bewijs

We zullen aantonen dat wanneer <<a<b>><b<c>>> ↔ <>, dat dan ook <<a<b>><b<c>><a<c>>> ↔ <>.

Bewijs in tabelvorm:

Voor alle combinaties geven de twee laatste kolommen dezelfde ervaringswaarde.

Gevolg

Uit deze drie eigenschappen volgt dat <> een partiële orderelatie is, zoals dit begrip ook in andere formalismen gebruikt wordt. Deze relatie brengt structuur in de werkelijkheid. Met een zeer beperkt aantal beslissingen (dat wat ik kan) komt er zo structuur in de aandachtspunten.

Hierboven is een gedeeltelijke graf van een tralie met drie punten voorgesteld.

We kunnen bijvoorbeeld zien dat ab lager staat dan <<a><b><c>>, we zeggen dat ab fijner is dan <<a><b><c>>. Men kan dit met de axioma's verifiëren. Met andere woorden men kan verifiëren dat ab<<<a><b><c>>> ↔ <> (zie de definitie van "fijner"). Men kan dit doen voor alle combinaties van a, b en c.